北京市2025年第一次普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷02数学（解析版）

这是一份北京市2025年第一次普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷02数学（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】集合，，则.故选：D.
2．如图，在圆中，向量，，是（ ）

A．有相同起点的向量B．相反向量
C．模相等的向量D．相等向量
【答案】C
【解析】向量，，的模长均为圆的半径，故选C
3．从甲、乙、丙、丁四人中选一名志愿者，则甲被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知：样本空间甲、乙、丙、丁，则，
记“甲被选中”为事件A，则，所以.故选：A.
4．明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．三次均未中靶B．只有两次中靶
C．只有一次中靶D．三次都中靶
【答案】A
【解析】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”，
事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”，
所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥，
事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误；
故选：A.
5．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．52B．48C．36D．24
【答案】C
【解析】依题意，应抽取的一年级学生的人数为.故选C
6．函数的最小正周期为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】函数的最小正周期为，则，解得.
故选：A.
7．（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
8．已知函数的值为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【解析】因为，所以，故选：D.
9．设，且，则的最大值是（ ）
A．200B．50C．20D．10
【答案】A
【解析】依题意，当且仅当时等号成立.故选：A.
10．不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．
【答案】D
【解析】由不等式可化为，
由，所以的解集为空集，故选：D.
11．已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【解析】因为幂函数的图象过点，所以，即，
则，解得.故选：D.
12．设命题 则的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】命题 则的否定为“”.故选：B.
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
14．在中，已知，，，则角的值为（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【解析】，，，
又，且，，则角的值为．故选：B.
15．在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】C
【解析】对于，因为，平面，平面，
所以平面，所以直线与直线不相交，故错误；
对于，因为平面，平面，所以平面，
又平面，且，所以直线与直线不相交，故错误；
对于，因为平面，平面，所以平面，
又平面，且，所以直线与直线不相交，故错误；
因为直线都在平面内且不平行，所以直线相交，正确.
故选：.
16．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，故选：A.
17．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
18．函数的零点是（ ）
A．B．1，2C．D．
【答案】D
【解析】令，解得，由零点定义可得函数的零点是.故选：D.
19．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A. 是偶函数，故错误；
B.是奇函数，在定义域上又是减函数，故正确；
C. 是偶函数，故错误；
D. 是奇函数，在定义域内不单调，故错误；故选：B
20．对任意的，表示不超过x的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，故选：D.
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）
21．已知i为虚数单位，计算： ．
【答案】
【解析】
22．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为 和 ．
【答案】19 4
【解析】∵，，…，的平均数为10，标准差为2，
∴，，…，的平均数为：，标准差为：．
23．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【解析】圆锥的侧面积.
24．甲、乙两人独立地完成一项工作，已知各人能完成工作的概率分别是，，则两人都能完成这项工作的概率为 ．
【答案】
【解析】设事件A为甲能完成工作，事件B为乙能完成工作，
由题意知，，
所以两人都能完成这项工作为事件，
根据独立事件的概率乘法公式可知.
三、解答题（本题共4小题，共28分）
25．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为，第二小组的频数为12．

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上（含110次）为达标，则样本中高一年级学生的达标率约是多少？
解：（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为．
因为第二小组的频率，
所以样本容量．
（2）由频率分布直方图可得样本中高一年级学生的达标率约为
.
26．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
解：（1），令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2），因为，所以，
可得，则，
即函数在上的值域为．
27．阅读下面题目及其解答过程.
以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”），
解：①由于的定义域为R，故A正确；
②由于，故B正确；
③根据函数单调性定义可知任取，故A正确；
④因为，所以，故，故B正确；
⑤因为，故，故，故A正确.
28．如图，四棱锥，底面为菱形，，点E在底面的投影恰好为的重心F．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
证明：（1）如图所示，连接交于点,
底面为菱形，所以为的中点，
因为为的重心，所以在上，且，可得
，在中根据线段成比例可得，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，，因为点E在底面的投影恰好为的重心F．所以平面,可得平面,
因为平面，所以
因为底面为菱形，所以
因为是平面内两条相交直线，所以平面,
因为平面,所以.已知函数.
（1）证明：是偶函数；
（2）证明：在区间上单调递增.
解：（1）的定义域为①________.
因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数.
（2）③________，且，
因为，
所以④________0，⑤________0，.
所以，即.
所以在区间上单调递增.
空格序号
选项
①
A． B．
②
A． B．
③
A．任取 B．存在
④
A． B．
⑤
A． B．