上海市宝山区2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试卷（附答案）

这是一份上海市宝山区2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试卷（附答案），共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分.其中第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题满分 5 分）
1. 已知，则__________.
【正确答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故
2. 若，，则______.（用符号表示）
【正确答案】
【分析】结合反三角函数的定义求结论即可.
【详解】因为，，
所以.
故答案为.
3. 已知分别为△三个内角的对边，且，则_________．
【正确答案】
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理可得，所以，
因为，又因为，所以，所以，
所以.
故答案为.
4. 已如函数的部分图象如图所示，则________．
【正确答案】
【分析】找到函数图象上的点代入到解析中求解即可.
【详解】因为函数图象经过点，所以即,
所以，又因为，所以,
故答案为.
5. 将函数图象向右平移个单位，得到的图象的解析式为________．
【正确答案】.
【分析】直接利用函数的图象的平移变换求解析式.
【详解】函数图象向右平移个单位，
所得图象的解析式为.
故答案为.
6. 月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为_________（精确到整数位）（参考数据：）
【正确答案】
【分析】结合正弦定理，求得三角形外接圆半径，利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.
【详解】设的外接圆的半径为，
则，得，
因为月牙内弧所对的圆心角为，
所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为．
故
7. 函数的最小正周期是______．
【正确答案】
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期．
【详解】函数
的最小正周期是，
故答案为．
本题主要二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
8. 若函数在上恰有三个零点，则的可能取值为__________写出一个满足条件的正整数
【正确答案】6（或7，答案不唯一）
【分析】当时，，结合正弦函数图象，所以即可求解；
【详解】函数，
当时，，
又函数在上恰有3个零点，
所以，解得，
所以的可能取值为或7.
故6或7
9. 已知函数最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为_____
【正确答案】
【分析】根据余弦函数的范围求出，的值，再根据得出取最大值时，进而求出的取值集合.
【详解】因为，，
，，
，，，
的最大值为2，此时，则，
，故取最大值时对应x的集合为
故答案为.
10. 已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是__________.
【正确答案】##
【分析】利用余弦定理和均值不等式来求面积的最大值.
【详解】由题意得：，
由余弦定理得：
即，当且仅当时取等号
故答案为.
11. 设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为________．
【正确答案】##
【分析】先根据对称轴及零点结合周期关系计算得出，再应用区间单调得出，最后分类计算求解即可.
【详解】因为为函数的一个零点，且是函数图象的一条对称轴，
所以，所以，所以；
因为函数在区间上单调，
所以，即，所以，所以，
又因为，所以，
当时，，
又因为，则，所以，
又，则，
所以函数在区间上不单调，所以舍去；
当时，，
又因为，则，所以．
又，
所以函数在区间上单调，所以．
故．
12. 某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001）
【正确答案】1.172
【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值.
【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接，
令圆的半径为，则，解得，设，
因此，
当且仅当时取等号，
所以步行道、长度之和的最小值是.
故
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13、14题满分4分，第15、16题满分5分）
13. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【正确答案】C
【分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可.
【详解】因为中，，由正弦定理得，所以；
由，由正弦定理得，所以；
则“”是“”的充要条件.
故选：C.
14. 已知函数，且的最小值为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】由的最小值为可得最小正周期，即可得答案.
【详解】因，
则的一个对称中心为，一条对称轴为，
又最小值为，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期为，
则最小正周期为，则.
故选：B
15. 已知函数，现将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数满足
B. 函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
C. 函数是偶函数
D. 函数在上单调递增
【正确答案】C
【分析】先求出的解析式，对A、B、C、D一一验证.
对于A：用代入法验证；
对于B：根据周期进行判断；
对于C：把函数转化为y=cs 2x，直接判断即可；
对于D：直接求出单增区间进行验证.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若函数满足，即，则函数的图象关于点对称，又，故A错误；
函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（其中T为函数的最小正周期），故B错误；
，所以函数是偶函数，故C正确；
，令，所以，令k=0，所以函数在上单调递增，故D错误.
故选：C．
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
16. 已知，下列结论错误的个数是（ ）
①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】C
【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可.
【详解】，
周期，
①由条件知，周期为，故①错误；
②函数图象右移个单位长度后得到的函数为，
其图象关于轴对称，则，
故对任意整数，故②错误；
③由条件，得，故③错误；
④由条件，得，又，故④正确.
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，其中第17-19题满分14分，第20、21题满分18分）
17. 已知角a的终边经过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【正确答案】（1）2 （2）
【分析】（1）根据三角函数定义求出正切值；
（2）先利用诱导公式化简，并化弦为切，代入，得到答案.
【小问1详解】
根据三角函数的定义，可得．
【小问2详解】
由（1）知，，
．
18. 在中，设．
（1）求；
（2）若，求的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用边化角与和两角和的正弦公式即可化简求值.
（2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果.
【小问1详解】
由正弦定理得
，
整理得：，
即：，又因为，
所以,又，所以；
【小问2详解】
，
解得：，
故
19. 已知函数，其中.
（1）求在上的最大值；
（2）若函数（）为奇函数，求的值.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据条件，利用二倍角公式及辅助角公式，得到，再利用的性质，即可求解；
（2）利用（1）中结果，结合条件得到，再利用，即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
故当时，即时，.
【小问2详解】
由（1）知，
又因为函数为奇函数，则为奇函数，
所以，解得，
又，令，得到，令，得到，
所以或.
20. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知．
（1）求岸线上点A与点B之间直线距离；
（2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
【正确答案】（1）千米
（2）万元
【分析】（1）由余弦定理计算即可；
（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，得
即岸线上点与点之间的直线距离为 千米．
【小问2详解】
在中， ，
则，
设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则
因为，所以，所以
所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．
21. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）当，方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析；
（2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围；
（3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围．
【小问1详解】
设的最小正周期为，由题意得，得周期，
所以，得，
因为，所以，
所以，
因为的图象过点，所以，得，
因为，所以，
故．
【小问2详解】
，
即有解，
由，得，
所以，所以，
所以，即．
【小问3详解】
，设，则，
由“方程在区间上恰有三个实数根”，
得“方程在区间上恰有三个实数根”，
则的图象如下：
即，
由图得，，，
即，
综上．
关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.