江苏省扬州高邮市2024-2025学年高二下学期期中数学检测试题（附答案）

这是一份江苏省扬州高邮市2024-2025学年高二下学期期中数学检测试题（附答案），共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，且，那么（ ）
A． B． C．2 D．10
3．5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、兵乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A．6 B．120 C．125 D．243
4．对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，则直线能作为下列函数图像的切线的有（ ）
A． B． C． D．
6．在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设定义在上的函数的导函数为，若对，均有，则（ ）
A． B． C． D．是函数的极小值点
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．满足不等式的x的值可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．在空间直角坐标系中，，则（ ）
A．向量在向量上的投影向量为
B．若某直线的方向向量为，则该直线与平面ABD平行
C．异面直线AC与BD所成角的余弦值为
D．点C在平面ABD内的射影为点
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有三个零点
B．当时，函数有两个极值点
C．当时，函数关于点对称
D．当时，若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。
12．设定义在R上的函数的导函数为_________．
13．已知，则_________．（用数字作答）
14．已知正方体的棱长为2，P是棱的中点，点M在侧面内，若，则面积的最小值为_________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）己知函数，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
16．（本题满分15分）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值．
17．（本题满分15分）
（1）现将学号分别为1，2，3，4，5，6，7号的七名同学站成一排，如果学号为1，2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答）
（2）由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有多少个？（用数字作答）
（3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数”
（满足），这样的“五位凸数有多少个？（用数字作答）
18．（本题满分17分）如图，等边三角形ABC的边长为8，E，F分别为所在边的中点，O为线段EF的中点，现将三角形ABC沿直线EF折起，使得二面角为直二面角．
（1）求线段AC的长度；
（2）求直线BE与平面ABC所成角的正弦值；
（3）棱AC上是否存在异于端点的点M，使得点A到平面OBM的距离为．若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分17分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的最小值为，求a的值；
（3）证明：当时，．
高二数学答案
1．D 2．A 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C
9．ABC 10．AC 11．BCD
12．．495 14．
15.（1）由题知，
则即，得，
故； 5分
（2）令，得或； 7分
由上表可知，，． 13分
16．（1）
；..6分
（2） ..8分
所以
分
17．（1）先排甲乙两人，有种；
再在其余5人中选择2人站在甲乙之间，有种；
再将这4人看作整体与另外2人排成一排，有种；
由分步计数原理知，共...；分
（2）不考虑限制条件，有个七位数；
则4个奇数的位置一定，共有...数； 分
（3）先从7个数字中选出5个数字，有种；
将选出的5个数中的最大数排在最中间，有1种；
在选出的5个数中的其余4个数中，选择2个排在中间数的左边，有种；
将选出的5个数中的剩下的2个数，排在中间数的右边，有1种；
由分步计数原理知，共...； 分
答：以上三个情况分别有720种不同的排法，210个不同的七位数，126种不同的排法．
（注：不作答，倒扣2分）
18.（1）连接，则；由题知面面，
且面面，又面，所以面；
取边的中点记为，则；
以为正交基底建如图所示空间直角坐标系， 2分
易知，所以； 5分
（2）由题知， 6分
记面的一个法向量，
易知，
所以，
不妨取，得，即； 8分
记直线与平面的所成角为，则，
所以，直线与平面的所成角的正弦值为；.10分
（3）设，其中，
，，
，， .12分， 记平面的一个法向量为，
则有，
不妨取，解得，即；.14分
则点到平面的距离，
整理得：即， 16分
解得或（舍去），
所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．17分
19．（1）由题意知：函数的定义域为，
①当时，若，恒成立，恒成立
，在内单调递减
②当时，由，得：；由得：
在内单调递减，在内单调递增
综上所述，当时，在内单调递减；
当时，在内单调递减，在内单调递增． 3分
由题知，，，
①当时，在区间上恒成立，区间上单调递增，（舍）； 5分
②当时，令，得，
（Ⅰ）当时，即，区间上单调递增，
（舍）；
（Ⅱ）当时，即，
区间上单调递减，在区间上单调递增，；
记函数，由知函数为单调函数，
故关于的方程的解为... 分
（注：若没有构造函数解方程，直接得方程的解，扣2分）
（Ⅲ）当时，即，区间上单调递减，，
解得（舍）； 9分
综上所述，． 10分
（3）当时，，要证，即证，
记函数，定义域为，
，由知，在为单调增函数，
又因为，，
所以存在，使得，即，所以，分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，，将代入得
，其中， 15分
故，即
所以，当时，． 17分 0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增