江苏省苏州市2024-2025学年高一下学期3月学情调研数学检测试卷（附答案）

这是一份江苏省苏州市2024-2025学年高一下学期3月学情调研数学检测试卷（附答案），共21页。试卷主要包含了 在中，，，则， 已知，，则， 下列说法正确的是， 对于有如下命题，其中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由A、B的坐标求得，再求出即可.
【详解】因为，
所以，
所以与同向的单位向量为.
故选：A
2. （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.
详解】
.
故选：A.
3. 在中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】首先求出，再由诱导公式得到，利用两角和的正弦公式计算可得.
【详解】因为，，所以，又，
所以
.
故选：C
4. 在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】结合图形，将和分别用和，和表示，代入方程即可求解.
【详解】
如图，因，则，即，
解得.
故选：A.
5. 已知，，则 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由结合两角差正切公式求得.
【详解】由
得，
故选：A.
6. 若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用数量积公式求出，然后由数量积定义可得夹角；
【详解】因为，
，
，
设与的夹角为，则，
又，所以.
故选：B.
7. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题知,再根据二倍角公式化简整理即可得答案.
【详解】解:因为，,
所以,
所以
故选:C
8. 在中，内角、、所对的边分别是、、，且.若角的平分线交于点，且.则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【正确答案】D
【分析】利用正弦定理的边角互化可得，从而可得，再由，根据三角形的面积公式可得，即，再由基本不等式即可求解.
【详解】由利用正弦定理化边为角可得：，
因为，，所以，即，
因为，所以.
因为角的平分线交于点，所以，
所以，
所以，即，所以，
当且仅当，，即，时，等号成立，
所以的最小值为，
故选：D
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
C. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D. 若，则与的夹角是锐角
【正确答案】BC
【分析】利用向量的运算法则可判断A，利用投影向量的求法可判断B，利用数量积的含义可判断C,D.
【详解】因为，所以，即，不一定得出，A不正确；
在上的投影向量为，B正确；
若存在负数，使得，则，若，则，
不能得出“存在负数，使得”，C正确；
若，则，与的夹角不一定是锐角，D不正确.
故选：BC
10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. 在中，若，则必是等腰三角形
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，且有两解，则的取值范围是
【正确答案】AC
【分析】A将化为，再利用正弦定理和余弦定理化简；B利用角的范围以及正弦函数图象即可；C利用以及正弦函数的单调性；D画出图形，数形结合.
【详解】，则，利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，故角为钝角，故A正确；
，则，由可得或，即或，故B错误；
锐角有，因，则，由于在上单调递增，则sinA>sinπ2−B=csB，故C正确；
由图可知，欲使有两解，则，故D错误.
故选：AC
11. 已知，则（ ）
A. 、，使得
B. 若，则
C. 若，则
D. 若、，则的最大值为
【正确答案】BC
【分析】由无解可判断A；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C；化简，结合函数单调性，可判定D.
【详解】对于A，若，由可得，
即，解得，
又因为，所以，所以方程无解，故A错误；
对于B，因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，由选项B可知，，
所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以，
令，则在上单调递减，无最小值，
所以在上无最大值，故D错误.
故选：BC
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. __________.
【正确答案】
【分析】利用切化弦，再利用两角和正弦公式即可求解.
详解】
故答案为.
13. 已知圆内接四边形中， 则四边形的面积为 .
【正确答案】
【详解】连接BD,圆内接四边形对角互补，，利用余弦定理,
得
∴,
四边形面积.
故答案为.
14. 如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________.
【正确答案】 ①. 4 ②.
【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.
【详解】因为，，所以为正三角形，所以，，
因为，所以，
因为，所以，所以.
因为是线段上的一个动点，所以可设，
所以
，
因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故4；
关键点点睛：将和化为、、表示，利用定义求出是解题关键.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，且．
（1）若向量与互相垂直，求的值．
（2）若向量与互相平行，求的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．
（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小问1详解】
，，
，，即，得，
若向量与互相垂直，则，
即得，
，解得或.
【小问2详解】
由，所以，所以不共线，
由向量与互相平行，
可知存在实数，使得，
，解得，
当时，；当时，.
或.
16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，.

（1）试用，表示；
（2）若，与的夹角为，求
【正确答案】（1）,
（2）
【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用向量的模公式和向量的数量积公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以.
所以.
因为E是AD的中点，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以
，
所以
17. 在中，设角所对的边分别为.
（1）求；
（2）若点M为边AC上一点，，求的面积.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由三角形内角和与二倍角公式，求得半角三角函数值，从而可得答案；
（2）由锐角三角函数表示边，根据余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案.
【小问1详解】
由，根据，则，
由正弦定理，则，由，则，
可得，由，即，则，
可得，，则.
所以.
【小问2详解】
在中，，，则，，
由，且，则，
由余弦定理可得，则，解得，即，
所以的面积.
18. 已知向量，设.
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值；
（3）令函数，求值域.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）化简的解析式，然后利用整体代入法求得的单调递增区间.
（2）根据三角恒等变换的知识求得.
（3）化简的解析式，进而求得的值域.
【小问1详解】
，
由，
解得，
所以的单调增区间是.
【小问2详解】
，所以.
因为，所以，在这个区间内.
所以.
.
【小问3详解】
,
，
因为，所以，
则.
所以的值域是.
19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为.向量称为函数的“相伴向量”.
（1）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围；
（3）当向量时，伴随函数为，函数，若，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围；
（2）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围．
（3）先求得，由，得，再根据正弦函数的性质分类讨论求出函数的最值。进而可得出答案.
【小问1详解】
由题知：，
，
由，得，
令，得，令，得，
由，得，
令，得，令，得，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
且，
如图，
∵图像与有且仅有四个不同的交点，
所以实数k的取值范围为；
【小问2详解】
，
其中，
，
∴当即时，取得最大值，
此时，
令，则由，显然，
则，解得，
，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以；
【小问3详解】
由题意，
则，
设函数在区间上最大值与最小值之差为，
由，得，
①当，即时，
又，所以时，
，
，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
②当，即时，
又，所以时，
，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
③当，即时，
又，所以时，
，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
④当，即时，
又，所以时，
，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
⑤当，即时，
又，所以时，
，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
⑥当，即时，
又，所以时，
，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
综上所述，，
所以在区间上最大值与最小值之差的取值范围为.