河南省驻马店市2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学检测试题（附答案）

这是一份河南省驻马店市2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学检测试题（附答案），共16页。试卷主要包含了3，0等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
一、单选题（每小题5分，共计40分）
1． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．若，则（ ）
A．B．6C．3D．-3
3．口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．20B．26C．32D．36
4．若函数在处的导数存在，则“函数在点处取得极值”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
6．五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．60B．80C．100D．120
7．已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．B．C．1D．2
多选题（每小题6分 共计18分）
9．在 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式的二项式系数和是128B．只有第4项的二项式系数最大
C．的系数是D．展开式中的有理项共有3项
10．已知正四棱台，棱台的高为分别为，的中点，则（ ）
A．平面
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．点到平面的距离为
D．平面与平面所成角的余弦值为
11．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ）
A．在区间内单调递减B．在区间内单调递增
C．是极小值点D．是极大值点
三、填空题 （每小题5分，共计15分）
12．如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为 .
13．若点，在圆上，且点，关于直线对称，则该圆的面积为 ．
14．若，则 .
四、解答题
15．（13分）.
已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最大值.
16.（15分）
甲乙丙丁戊五个同学
(1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？
(2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
(3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？
17.（15分）
如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
18.（17分）
已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
（17分）
已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值的表达式；
(3)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
数学答案
1．A
【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【详解】由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
2．C
【分析】由导数的定义可得；
【详解】.
故选：C.
3．B
【分析】由间接法以及组合数即可求解.
【详解】从个球中任取个球的取法共有种，
两个球都不是红球的取法有种，
所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为.
故选：B.
4．A
根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件；再根据，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，进而可得出结果.
【详解】根据函数极值的定义可知：当函数在处取得极值时，一定成立，即“函数在点处取得极值”是“”的充分条件；
当时，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，如：，
其导函数为，当时，，但是单调函数，无极值点；
所以“函数在点处取得极值”是“”的不必要条件.
综上，“函数在点处取得极值”是“”的充分不必要条件.
故选A
本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型.
5．C
【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.
【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．
故选：C．
6．B
【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.
故选：B
7．A
【分析】先根据的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等建立关于的方程，求出；再利用二项式系数的性质即可求解.
【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，
所以，解得.
所以奇数项的二项式系数和为.
故选：A.
8．C
【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。
【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以，
又因为切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：C
9．AC
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可判断CD，由组合数的性质即可判断B,由二项式系数和可判断A.
【详解】对于A,二项式系数和为，故A正确，
对于B，由于 ,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B错误，
对于C,的通项为，令，
所以的系数是，故C正确，
当时，为整数，所以有理项有4项，故D错误，
故选：AC
10．BC
【分析】首先根据几何关系，分别取上、下底面的中心分别为，再以点为原点，建立空间直角坐标系，根据选项，代入向量公式，即可判断.
【详解】取上、下底面的中心分别为，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，

则，，，
所以，
设平面的法向量为，
则即令，得
因为，所以与平面不平行，A错误；
由于，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确；
，设平面的法向量为，
则，即，令，则，因为，所以点到平面的距离正确；
易知平面的一个法向量为，所以，D错误．
故选：BC
11．BD
利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可．
【详解】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，
．函数在区间的导数为，
在区间上单调递增，正确；
．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误，
．时，，
当时，，为增函数，，
此时此时函数为减函数，
则函数内有极大值，是极大值点；故正确，
故选：．
本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．属于中档题．
12．
【分析】建系，求出在上的投影向量的长度，再利用勾股定理求解即可.
【详解】因为平面，平面，平面，
所以，，又,
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
，即，，
所以在上的投影向量的长度为，
故点到直线的距离为.
13．
根据点，在圆上，且关于直线对称可知，直线过圆心，则可解出，然后得出圆的半径，得出圆的面积.
【详解】因为点，在圆上，且点，关于直线对称，
根据圆的性质可知：
过圆心，则，解得.
所以圆的方程为：，即，
则，面积为.
故答案为.
本题考查圆的一般方程及相关计算，考查圆中的弦的对称轴问题，较简单，根据题目条件确定出圆的方程是关键.
14．8
【分析】根据组合数公式运算求解即可.
【详解】因为，
整理可得，解得或，
且，所以.
故8.
15．(1)；
(2)9.
【分析】（1）求出函数的导数，结合给定的极值点求出值.
（2）利用导数求出在上的单调性，进而求出最大值.
【详解】（1）函数，求导得，
由在处取得极值，得，即，解得，
此时，当时，，当时，
即函数在处取得极值，所以.
（2）由（1）知，，，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以函数在区间上的最大值为9.
16．(1)72
(2)243
(3)150
【分析】（1）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得；
（2）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得;
（3）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解.
【详解】（1）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，
先将丙丁戊排成一列有种方法，
再将甲乙插空隙中，有种方法，
所以共有不同排法数为（种）.
（2）去三个城市游览，每人只能去一个城市，
可以有城市没人去，因此每个人都有种选择，
所以不同游览方法有（种）.
（3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，
则先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是（种）.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1） 通过 ，从而证明，结合已知，从而得到面；
（2）构建空间直角坐标系，通过法向量的夹角求解；
（3） 设 ，求解出平面的法向量，通过求解即可；
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，即
又∵，且，且两直线在平面内，
∴平面.
（2）∵平面平面，平面平面
，平面，
∴平面,又因为面，
∴.
由（1）已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，
∴，，，
∵E为PD的中点，∴
又∵，∴
设平面FAE的法向量为，则，
令，则，，∴
由（1）可知，平面，
∴平面的法向量为,
∴
∴平面与平面夹角的余弦值为．
（3）线段上存在点，使得平面，
设，则
由（2）可知，平面的法向量，
则，
解得
∴当是中点时，则平面.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先列出方程组求出数列的首项和公比，从而得到数列的通项公式，再求出数列的首项和公差，从而求出数列的通项公式；
（2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求解.
【详解】（1）由题意得，即，
则，
化简得：，解得（舍去）
则，解得，所以．
则，
设等差数列的公差为，则，
所以．
（2）由（1）可得：
所以，
故，
两式相减得：
，
化简可得：
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）求导后，分及讨论函数的单调性，结合函数的单调性即可得函数的最大值，即可得解；
（3）由函数的单调性，可设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围.
【详解】（1）易知函数的定义域为.
当时，.
，
所以在点处的切线斜率，
又，即点坐标为，
所以点处的切线方程为；
（2）因为.
所以，
当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减，
故函数在区间上的最大值为.
当时，令，
则在上单调递增，
且当时，，当时，，
所以在上有唯一的一个零点.
令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得：
所以函数在区间上的最大值为，
由，有：
当时，；
当时，，
故；
（3）由（2）可知，当时，在上单调递减，
故此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，在时，单调递减，在时，单调递增；
且，所以，①
又时，，当时，，
为了满足有两个零点，则有.②
对①两边取对数可得，③
将①③代入②可得，解得.
所以实数的取值范围为.
关键点点睛：最后一问关键点在于设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围单调递减
单调递增