浙江省义乌中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份浙江省义乌中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则复数的虚部为（ ）
A．2B．C．D．
2．已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，则角A的大小为（ ）
A．B．或C．D．或
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
6．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A．米B．米C．米D．米
7．已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，都是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则B．
C．D．
10．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（ ）
A．三个内角A、B、C满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于D，则的长为
D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为
11．已知平面向量，，，，满足，，，，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为14D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则的最大值为 ．
13．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 .
14．设G为的重心，满足．若．则实数的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数（R），为实数.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值.
16．如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．

(1)求的值；
(2)若为边上一点，且，求的长．
17．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点．
(1)试用表示和；
(2)若，求．
18．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求C的值；
(2)若，求周长的最大值；
(3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
19．在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足．
(1)若，求的值；
(2)在（1）条件下，求的最小值；
(3)若，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由于，则，则复数的虚部为．
故选B.
2．【答案】C
【详解】，因为三点共线，
故共线，故，故，
故选C.
3．【答案】D
【详解】由题意知中，，，
故，即，
由于，故，则或，
故A的大小为或，
故选D.
4．【答案】A
【详解】因为，，
所以，，
所以在上的投影向量为.
故选A.
5．【答案】C
【详解】解：因为在中，满足，
由正弦定理知，代入上式得，
又由余弦定理可得，因为是三角形的内角，所以，
所以为钝角三角形，
故选C.
6．【答案】B
【详解】设，则可得，
由，可得B是AC的中点，所以，
而，则，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以该建筑的高度米.
故选B.
7．【答案】A
【详解】如图，由，，可得在上的投影为2，即
因为对任意实数都有，由射影定理可得,
所以.
设，取，可得在直线上，
所以线段的最小值为到直线的距离，
当时，
故答案为：.
8．【答案】C
【详解】由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选.
9．【答案】CD
【详解】对于A，取，满足，而且，A错误；
对于B，取，，B错误；
对于C，设，
，C正确；
对于D，设，，
，D正确.
故选CD. .
10．【答案】ABD
【详解】对于A，由，设，
由余弦定理，，又，
，则，故A正确；
对于B，由，解得，
，则的周长为，故B正确；
对于C，由，
所以，解得，故C错误；
对于D，设，，则，
在中，，
由正弦定理，，
，
因为，所以，
当，即时，，即取得最大值，
又当点与点重合时，，
当点与点重合时，，
综上，的最大值为，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，因为，
所以，故B错误；
对于C，建立如图坐标系，
可知，，，,
所以
，
又因为，所以，
即，代入上式得：
，
由得： ，
不妨设，则
，其中
当，即此时取到最大值，故C正确；
对于D, 利用代入得：
，
其中，取最值条件就是和，
即此时取到最大值，
即此时取到最小值，
故D正确；
故选ACD．
12．【答案】6
【详解】设，
则，
得，
表示以为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，
所以.
13．【答案】2
【详解】解：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，，；
∴，，；
∴，
∴.
14．【答案】/0.5
【详解】在中，，
则，由正弦定理得，
由G为的重心，，得，
即，则，
即，因此，所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，为实数，则为实数，
所以，即，，
所以.
（2）由在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
又为实系数方程的根，
则，
所以，，
又，所以.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得：
∴ ,
由正弦定理：得.
（2）如图所示：

过作于，在中， ，，
∴，，在中，.
∴
∴
∴
17．【答案】(1),
(2)
【详解】（1）因为，所以，
设，所以，
又三点共线，所以，解得，
所以.
（2）因为，
设，
又三点共线，所以，解得，所以，
所以，
又，即，
即，解得或（舍去）.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得；
（2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值；
（3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得角的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围.
【详解】（1）由和正弦定理，结合三角形面积公式可得，，
因，故得，，
由余弦定理，，因，则；
（2）由余弦定理，，即，
整理得，，当且仅当时等号成立，即，
于是，，即当时，周长的最大值为；
（3）由可得，
由正弦定理，，即得，，,
则
,
由为锐角三角形可得，，解得，，
则，由正弦函数的图象知，，故得，
即面积的取值范围为.
【思路导引】对于三角形的周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，即，
因为，所以，
又由，
可得，
解得，即，所以为的外心，
由正弦定理有，所以；
（2）因为，所以，且，
，
因为，解得，
则，则，所以，
所以，
所以；
（3）如图所示：取的中点，连接，则，
所以，
同理可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，所以，，
即，所以，①
，即，
所以，②
联立①②可得，
所以，，
又因为，
因为，所以，可得，
可得，当且仅当等号成立，
令，，
函数，令，
，
因为，所以，
可得，所以在上单调递增，
所以，
所以．