天津市宝坻区第九中学2024−2025学年高一下学期第一次统练 数学试题（含解析）

这是一份天津市宝坻区第九中学2024−2025学年高一下学期第一次统练 数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
2．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
3．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1)B．(－2，1)
C．(－1，0)D．(－1，2)
4．已知i是虚数单位，复数为（ ）
A．3+4iB．3－4iC．D．
5．为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
6．在中，已知是边上的一点，若，，则
A．B．C．D．
7．下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．1D．
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．30°或150°D．60°或120°
10．在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．是虚数单位，复数 ．
12．已知向量，，若向量与垂直，则 .
13．已知向量的夹角为，，，则 ．
14．在中，若，，，则的最小角为 ．
15．如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为和，已知，点C位于BD上，则山高AB等于 ．
三、解答题（本大题共5小题）
16．已知是虚数单位，复数，.
(1)当时，求；
(2)若z是纯虚数，求的值；
(3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
17．已知向量，，，，若．
(1)求的值；
(2)求与的夹角θ；
(3)求的值．
18．已知向量，向量
(1)若向量与向量平行，求实数的值；
(2)若向量向量垂直，求实数的值；
(3)求向量与向量夹角的余弦值．
19．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角A；
(2)若，，求边c及的面积；
20．在中,角所对的边分別是.已知.
(I)求的值:
(II)求的值;
(III)求.
参考答案
1．【答案】C
【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误；
对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误；
对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确；
对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误.
故选C.
2．【答案】A
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.
故选A.
3．【答案】D
【详解】解：因为平面向量，则向量
4．【答案】D
【详解】，
故选D.
5．【答案】C
【详解】因为，
则，
所以.
故选C.
6．【答案】B
【详解】试题分析：由已知得，因此，答案选B.
考点：向量的运算与性质
7．【答案】D
【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行，
若，则，
故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得.
对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确；
对于B选项，，∴与不平行，故B项正确；
对于C选项，，∴与不平行，故C项正确；
对于D选项，，∴，故D项错误.
故选D.
8．【答案】A
【详解】在上的投影向量为.
故选A.
9．【答案】A
【详解】由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选A.
10．【答案】C
【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以，
所以，
因为0≤x≤1，所以，
即的取值范围是.
故选C.
点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
11．【答案】
【详解】.
12．【答案】2
【详解】因为向量，，向量与垂直，
则，解得．
13．【答案】
【详解】因为向量的夹角为，，，
则，
可得，
所以.
14．【答案】
【详解】因为，，，则，
可知，即最小内角为角，
且，
又因为，所以.
15．【答案】
【详解】由题意可知，，，
由直角三角形可知：，，
因为，即，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，,
所以.
（2）,
若复数是纯虚数，则
解得所以；
（3）复数在复平面内对应的点位于第三象限，
则即
所以实数的取值范围是.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
则，
即，所以.
（2）由（1）可知，则，
因为，所以.
（3）因为
所以.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，
因为向量与向量平行，所以，
解得．
（2）由题意得，
因为向量向量垂直，所以，
解得．
（3）由题意得，，
所以，，，
所以向量与向量夹角的余弦值为．
19．【答案】(1)
(2)3；
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
且，则，
可得，则，
又因为，所以．
（2）由余弦定理得，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以的面积．
20．【答案】见详解
【详解】解：(I)由正弦定理可得,,即,解得:;
(II)由余弦定理可得,,即,
解得:或(舍去) .
(III)由正弦定理可得,,即,解得:,而,
所以都为锐角,因此,故.