陕西省韩城市2023−2024学年高一下学期期中测试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省韩城市2023−2024学年高一下学期期中测试 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．角1000°的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若角的终边与单位圆相交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定
6．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）.根据以上信息，当圆心角对应弧长时，其对应的“古典正弦”值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的一个周期B．函数在上是增函数
C．函数的图像关于点对称D．函数是偶函数
8．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知非零向量，，，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．与向量共线的单位向量是
C．若，则或
D．若，是平面的一组基底，则，也能作为该平面的一组基底
10．已知函数，若，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为，则（ ）

A．的最小正周期为πB．，
C．的图象关于点中心对称D．在上单调递增
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则实数 .
13．的值为 .
14．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，若，请写出的一个可能值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
16．已知是第三象限角，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，.
(1)用，表示，；
(2)若，，求，的值.
18．近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.

(1)求的解析式；
(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长.
19．已知函数（，）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
(1)求和的值；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)设，若图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标不属于区间，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，则的终边与相同，则其终边在第四象限.
故选：D．
2．【答案】D
【详解】由题意，根据三角函数定义，所以.
故选：D
3．【答案】B
【详解】因为该物体静止，所以，所以，
又因为，所以，
故选：B.
4．【答案】C
【详解】因为，即，所以
又，
，所以
所以
故选：C
5．【答案】B
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
又因为，即，
所以平行四边形ABCD是矩形.
故选：B.
6．【答案】D
【详解】设
由圆心角对应弧长，由，得圆心角弧度数绝对值为2.
则,所以
故选：D
7．【答案】C
【详解】由题可得：，根据正切函数得周期性可知，函数的最小正周期为，故A错误；
根据正切函数的性质可知，在上是减函数，故B错误；
根据正切函数的性质可知，的图像关于点对称， 取，则函数的图像关于点对称，故C正确；
的图象关于原点对称，为奇函数，故D错误；
故选：C
8．【答案】A
【详解】令，解得.
所以的单调递增区间为.
又在区间上单调递增，，，即，则实数a的最大值是.
故选：A.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，非零向量，，，由，，则存在非零实数和，使得，，即，所以，故A正确；
对于B，与向量共线的单位向量是，故B正确；
对于C，若，只有与共线时，才有或，故C错误；
对于D，，是平面的一组基底，则，不共线，
假设向量，共线，则存在实数，使得，
即，显然，不同时为0，于是，共线，与，不共线矛盾，即假设不成立，
因此向量，不共线，即，也能作为该平面的一组基底，故D正确；
故选：ABD
10．【答案】BD
【详解】令或，,
故或，，
故,
取和可得或，
故的值可以为或，
故选：BD
11．【答案】ABD
【详解】对AB，由图，知，∴，∴，
因为，，则，∴，
∵，∴，故AB正确；
对C，因为，故的图象不关于点中心对称，故C错误，
对D，当时，，
结合余弦函数的单调性知在上单调递增，D正确.
故选：ABD.
12．【答案】/
【详解】因为向量，，且，则，解得：；
故答案为：
13．【答案】/
【详解】,
故答案为;
14．【答案】(答案不唯一)
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数，
再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，
因为，则为偶函数，所以，解得：，取，可得：；
故答案为：(答案不唯一)
15．【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据平面向量基本定理用，分别表示出，，有，且都过点，进而可证，，三点共线；
（2）根据已知条件有，求得，解出即可.
【详解】（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是第三象限角，且，
所以，所以
（2）
17．【答案】(1)；
(2)，
【详解】（1）因为在中，点为的中点，
所以；
所以，
则
（2）因为，
又，
所以，
即，解得：
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，
当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，
设为，则，
由题意得，，，
解得，
所以.
注：写成也给分.

（2）令，则，
即，
所以，
解得.
当时，，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒.
19．【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据最小正周期求出，再根据对称轴求出；
（2）由（1）可得解析式，再由的取值范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；
（3）首先得到的解析式，由求出的大致范围，再求出图象的某一条对称轴与轴的交点的横坐标属于区间时的取值范围，即可得解.
【详解】（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，所以，
又因为的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
又，所以，
综上可得，.
（2）由（1）知，
当时，，
所以当（即）时，，
当（即）时，，
所以函数在的最大值为，最小值为.
（3）由题意，
图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间，
且，解得，
令，，解得，，
若图象的某一条对称轴与轴的交点的横坐标属于区间，
则，解得，
当时，且（矛盾），故解集为空集；
当时，；当时，，
故的取值范围为.