江苏省南京市五所高中合作联盟2023−2024学年高一下学期期中数学试卷（含解析）

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这是一份江苏省南京市五所高中合作联盟2023−2024学年高一下学期期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则（）
A．B．C．D．
2．在中，若，，，则等于（）
A．B．C．或D．或
3．（）
A．B．C．D．
4．在中，，，则（）
A．B．
C．D．
5．若csα=−23，α∈(0,π)，则csα2的值为（）
A. 66B. −66C. ±66D. 36
6．已知、，且，，则（）
A．B．C．或D．或
7．在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（）
A．B．C．D．
8．如图，在梯形中，，，，若，则（）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，则下列结论正确的有（）
A．若复数为实数，则
B．若复数为纯虚数，则
C．当时，
D．当时，
10．关于平面向量、、，下列说法正确的是（）
A．若，则
B．
C．若非零向量、满足，则与的夹角是
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
11．下列选项中，值为的有（）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 .
13．已知，则 .
14．如图，在中，、分别是、的中点，与的交点为，若，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量与满足，，与的夹角为.
(1)当为何值时，；
(2)求向量与向量的夹角的余弦值.
16．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且.
(1)求；
(2)已知点在线段上，且，求长.
17．若已知向量，，设函数.
(1)若且，求角的大小；
(2)已知，均为锐角，，，求的值.
18．“无想山国家森林公园”位于南京市溧水区城南新区，总面积约平方千米，平均海拔米，拥有天池、无想湖等多个天然和人工湖泊，以及壮观的松林景观和竹海景观，森林覆盖率为，空气质量常年保持一级标准.无想山景区山清水秀，文化底蕴深厚，自古被誉为“溧水第一胜境”.为了方便市民休闲、观光和锻炼，溧水区政府决定在无想山脚下挖掘一个人工湖.人工湖设计呈凸四边形形状，记为四边形，并规划百米，百米.
(1)设计师发现无论多长，为一个定值，请你验证设计师的结论，并求出这个定值；
(2)为了能容纳更多的游船，人工湖的面积越大越好，问怎样设计才能使人工湖的面积最大？并求出最大值.
19．如图，在中，，，，，.
(1)求的值；
(2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若是内一点，且满足，求的最小值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
故选：D
2．【答案】D
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得，，，
，，
或，
故选D.
3．【答案】A
【详解】
故选：A
4．【答案】B
【详解】
，
故选：B
5．【答案】A
【解析】∵csα=−23，∴cs2α2=csα+12=−23+12=16.
∵α∈(0,π)，∴α2∈(0,π2)，
∴csα2=66，故选A.
6．【答案】B
【详解】、，且，，
，
，
，
，，
、，
，
，
故选： B
7．【答案】B
【详解】解：由正弦定理可得得，

由余弦定理可得，
由于所以，
，
由于，所以，
由于，，
由余弦定理可得，
，
，，
，，
，
故选：B
8．【答案】C
【详解】，
，
，
，，，
，
，
，
故选：C.
9．【答案】ACD
【详解】A：若复数为实数，
则，解得，故本选项正确；
B：若复数为纯虚数，则，解得，
故本选项不正确；
C：当时，，，故本选项正确；
D ：时，，
，
，
，故本选项正确；
故选：ACD
10．【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，但、的方向不一定相同，故A错误；
对于B，由平面向量数量积的定义可知，，故B正确；
对于C，若非零向量、满足，
则根据平面向量减法的几何意义可以确定以、、为边长的三角形为等边三角形，根据平面向量加法的几何意义，结合等边三角形三线合一，
所以和的夹角为，故C正确；
对于D，若向量，，则，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确，
故选：BCD
11．【答案】ABD
【详解】A选项：；
B选项：
；
C选项：
；
D选项：因为，可得；
故选：ABD.
12．【答案】
【详解】，
，
故答案为：
13．【答案】/
【详解】
.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】，
，
，
，
，
，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），,
，，
，解得，
当时，；
（2），
，
，
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理可得，
，，
解得；
（2）由（1）可得，
，，
在中，，，
解得.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
.
18．【答案】(1)答案见解析，定值为1
(2)当时，才能使人工湖的面积最大，最大值为
【详解】（1）
始终为定值；
（2），
，
，
，
，
，
、，
当时，，
.
19．【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【详解】（1），
，
（2）设，
，
，
，
，
，
解得；
（3），
所以，
，
，
，
，
，，、、三点共线，
，
当且仅当即为中点时取等号，
而，
所以的最小值为.