吉林省吉林市吉化第一高级中学校2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省吉林市吉化第一高级中学校2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．在中，点在边上，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．在 △ABC中，已知角，，则角C=
A．B．
C．D．或
5．已知两个向量||＝1，||＝2，（）2，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（ ）
A．1B．C．D．
8．已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
10．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．“”是“与的夹角为锐角”的充要条件D．若，则在上的投影向量的坐标为
11．在中，角的对边分别是，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是锐角三角形
C．的最大内角是最小内角的2倍D．若，则的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量，，若，则 .
13．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为 ．
14．如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为 m.

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，．
(1)若，求，；
(2)若，求点的坐标．
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
17．已知平面向量，满足，，且.
(1)求.
(2)当实数为何值时，.
18．在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)求角；
(2)若，，求的周长．
19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以是线段的中点，
所以点的坐标为，即，
故点的坐标为.
故选A.
【方法总结】用向量解决平面(解析)几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基(基中的向量尽量是已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．【答案】C
【详解】，
故选C.
3．【答案】A
【详解】

由题意可得，，
则，所以.
故选A.
4．【答案】D
【详解】由正弦定理： 可得： ，
则角C=或.
本题选择D选项.
5．【答案】C
【详解】设向量与的夹角为
由
所以，解得，
故选C.
6．【答案】A
【详解】因为，，，所以，
因为，所以，所以.
故选A.
7．【答案】D
【详解】设的中点为，则，
因为，所以，
所以，
因为等边的边长为2，则，所以，
所以.
故选.
8．【答案】D
【详解】如图，
由知为中点，
又为外接圆圆心，，，
，
，，，
∴在向量上的投影为：，
向量在向量上的投影向量为：．
故选D．
9．【答案】BC
【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选BC.
10．【答案】ACD
【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故，所以选项A正确；
对于选项B，因为，所以，解得，所以选项B错误；
对于选项C，当与的夹角为锐角时，由，得到，
即，得到，
当时，也可得出，而，
又当时，得到，此时，共线反向，
所以，即“”可以得出“与的夹角为锐角”，所以选项C正确；
对于选项D，时，，在上的投影向量为，所以选项D正确，
故选ACD.
11．【答案】BC
【详解】对于A项，由及正弦定理得，
可设，，，
所以，，，所以，故A错误；
对于B项，由为最大边，为最小边，
根据余弦定理可得，
所以最大角是锐角，故B正确；
对于C项，又，，
由，，，可得，故C正确；
对于D项，若，则，，
由，得，
所以的面积，故D错误.
故选BC.
12．【答案】
【详解】因为，且，
所以，解得.
13．【答案】/
【详解】依题意，，得，
设外接圆的半径为，所以外接圆的面积为.
14．【答案】300
【详解】由题意知，m，则，
在中，，
故，则，
又直角三角形ABC中，，故.
15．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解；
（2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解.
【详解】（1）依题意得，，
则，所以，
所以，．
（2）由（1）知，，所以．
设点的坐标为，则，
因为，所以，，
所以，，故点的坐标为．
16．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
（2）由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，，且
∵
，
∴.
（2）∵，
∴，
即①，
∵，，，
∴；
将，，代入①式化简得：
，
.
∴当实数时，有.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，所以，
所以，又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
在中，，
由余弦定理得，即，
所以，所以，
所以，所以周长为.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由及正弦定理得：
，
因为，
所以，又，，
，又，故；
（2）由余弦定理，又，
所以，所以，
由可得，
故的面积；
（3）由正弦定理可知，故，
因为是锐角三角形，
所以，
所以，
令，，，
由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当时，y单调递减；
当时，；当时，；当时，；
因为，所以，
故.