山东省部分学校2025届高三下学期4月份模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省部分学校2025届高三下学期4月份模拟考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，即，则，
又，故.
故选：B.
2. 已知，i为虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
，故，所以的虚部为，
故选：D.
3. 已知，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】D
【解析】由可得，即，故，
由，可得，
当且仅当时取等号，即当时， 取得最小值为8.
故选：D.
4 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
5. 在等差数列中，公差，，下列说法正确的是（ ）
A. 是与的等比中项B. 是与的等比中项
C. 是与的等比中项D. 是与的等比中项
【答案】A
【解析】因为，得到，所以
对于选项A，因为，，，又，所以，
则，，构成等比数列，故选项A正确，
对于选项B，因，，，又，但，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，，所以，，不构成等比数列，故选项C错误，
对于选项D，因为，，，又，但，所以选项D错误，
故选：A.
6. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径，
由圆方程得，半径，则，解得.
故选：D
7. 中项的系数为（ ）
A. 56B. 69C. 70D. 55
【答案】B
【解析】由题意得：项系数为：，
故选：B.
8. 已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为
因为二者共焦点，所以，
如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知，
由此解得，由题意知，
所以，
故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得，
由离心率的定义可得，设，则，问题转化为求的最大值，
设，由可得，
当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（ ）
A. 这组数据的平均数为49B. 这组数据的标准差为8
C. 这组数据的第20百分位数为42D. 这组数据的极差为25
【答案】BC
【解析】平均数为，故A错误；
方差，则标准差，故B正确；
，则第20百分位数为，故C正确；
极差为，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数，将的图象先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象，则（ ）
A.
B. 和在上都是增函数
C. 和的图象都关于直线对称
D. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象重合
【答案】ABD
【解析】由题知，
对于选项A，因为，所以选项A正确，
对于选项B，当时，，，
由的性质知，和在上都是增函数，所以选项B正确，
对于选项C，因为，，
所以和的图象均不关于直线对称，故选项C错误，
对于选项D，因为，向右平移个单位长度后得到，
又，所以选项D正确，
故选：ABD.
11. 是定义在上的连续可导函数，其导函数为，下列命题中正确的是（ ）
A. 若为偶函数，则为奇函数
B. 若的图象关于点中心对称，则的图象关于直线轴对称
C. 若的周期为T，则的周期也为T
D. 若，为奇函数，则
【答案】ABD
【解析】对A，因为为偶函数，所以，都有，
两边同时求导，，即，则为奇函数，A正确；
对B，因为的图象关于点中心对称，故，
两边对求导可得，，
即，所以的图象关于直线轴对称，B正确；
对C，因为的周期为T，则，故，（为常数），
所以当时，不是的周期，C错误；
对D，由可得，函数的图象关于点中心对称，
因是定义在上的连续可导函数，故，
又为奇函数，则的图象关于原点对称，
故图象关于点中心对称，即，
故，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点为抛物线上一点，为的焦点，则________.
【答案】
【解析】将代入抛物线中，得到，解得，
则抛物线方程为，，故.
故答案为：
13. 已知单位向量，满足，且，则________.
【答案】
【解析】，
，，
所以，
因，则，
所以，
所以.
故答案为：
14. 数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是________.
【答案】4
【解析】由，则，
又，所以数列为首项为2，公比为2的等比数列，
则，即，
所以
，
由，则，
则，又，，
所以，即，
则满足不等式的的最大值是4.
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，向量，与垂直，，B，C为的内角，且A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求A；
（2）若角A的平分线交BC于点D，，求AD的最大值.
解：（1）因为与垂直，所以，
由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
且，所以.
（2）因为为的角平分线，则，
由可得
整理得，又因为，
可得
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
16. 斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，.
（1）求四棱柱的体积；
（2）求平面与平面的夹角的正切值.
解：（1）如图，连接交于，连接，，
在中，由余弦定理可得，
因，故，即，，
故为等边三角形，，由题意，，
则，
由题意可得，
整理可得，得，
则为等边三角形，故，
又，故为等边三角形，故，
又，
在中，由余弦定理可得,
，
因，故平行四边形为菱形，故，
又， ，平面，故平面，
作，由平面，则，
由，平面，则平面，
即为斜四棱柱的高，
在直角三角形中，，
（2）取的中点，连接，由（1）可知为等边三角形，
则，，
故为平面与平面所成角的一个平面角，
在中，由余弦定理可得，
17. 已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.
（1）求C的方程；
（2）证明：为钝角三角形.
（1）解：由题意可知，则，
又，则，故，
将点坐标代入曲线的方程中得，又，
解得（负值舍去），则C的方程为
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立得，，
设，
则，得且，
若直线与双曲线的两支相交，则，则，
则
，则为钝角；
若直线与双曲线的一支相交，由于双曲线的对称性，不妨设直线与双曲线的左支相交，且在点上方，设，
因，
则，则为锐角，
则为钝角，
综上可知，始终为钝角三角形.
18. 某市推行垃圾分类后，环保部门对居民分类准确率进行抽样调查.已知该市有甲，乙两个人口数量相等的社区，甲社区开展过多次分类培训，乙社区未开展.现从甲社区随机抽取100人，乙社区随机抽取150人，统计正确分类人数如下：甲社区：80人正确分类；乙社区：90人正确分类.假设各社区中每位居民的分类行为相互独立，用频率估计概率.
（1）若从甲社区中任选3人，求恰好2人正确分类的概率；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异？
（3）环保部门从两社区抽取居民的样本中，对不能正确分类的样本，按照分层抽样抽取8人，再从这8人中选择3人进行深度访谈.设X为3人中来自甲社区的人数，求X的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
解：（1）已知甲社区正确分类概率的估计值，则恰好人正确分类的概率.
（2）提出零假设：两个社区居民对垃圾分类的准确率没有差异.
整理列联表：根据题目所给信息，整理得到两个社区居民对垃圾分类的准确率的列联表，
其中甲社区正确分类80人，不正确分类20人，合计100人；
乙社区正确分类90人，不正确分类60人，合计150人；总计正确分类170人，不正确分类80人，总人数250人.
根据统计量的计算公式（其中是样本容量，、、、分别是列联表中的四个数据），在本题列联表中，，，，，则.
已知小概率值对应的临界值，因为，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为两个社区居民对垃圾分类的准确率有差异.
（3）甲社区不能正确分类的有20人，乙社区不能正确分类的有60人，共人.按照分层抽样抽取人，则从甲社区抽取人，从乙社区抽取人.为人中来自甲社区的人数，则的可能取值为，，.


所以的分布列为：
可得：
19. 已知函数.
（1）若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程；
（2）若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围.
解：（1）因为，
所以，而，得到切点为，
设切线斜率为，由导数的几何意义得，
则切线方程为，
而切线l过点，得到，
解得，此时l的方程为，
即，则l的方程为.
（2）因为，
且，所以，
令，
则．
因为有两个不同的极值点，，（），
所以当时，，则只有一个极值点，不符合题意，
当且，
①当，，即时，
当时，恒成立，即，即恒成立，
设，则，
所以在上单调递减，
则，则，故；
②当，，即时，
当时，恒成立，即恒成立，
若，则当时，，不满足题意，
所以，此时，即，
设，则，
易得在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，故，
综上，的取值范围是．0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2