广东省梅州市2025届高三下学期2月质检数学试卷（解析版）

这是一份广东省梅州市2025届高三下学期2月质检数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列集合之间关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】对于A选项，，，故，A错；
对于B选项，，，
故，B对；
对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错；
对于D选项，，
故，D错.
故选：B.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，由题意可得，
即，
由复数相等的概念可得，解得，即，
故.
故选：D.
3. 如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设依题意，，
因点P落在阴影部分（不含边界），且，易得，且，
由，可得，
由，
又，
故可得：，
即，因，
则，即，
由，可得，整理得：，
因，故得，即；
由，可得，整理得：显然成立.
综上分析，可得.
故选：C.
4. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形，
由台体的体积公式可得，解得，
故容器的高为，容器的容积为，
故选：A.
5. 已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为等差数列的前项和为，且，则，
，无法判断ABC选项，
，D对.
故选：D.
6. 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ ）
参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为．
参考数据：令
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，
得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB；
设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则，
因此，，
即，，C错误，D正确.
故选：D
7. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，图中的截面边界曲线（抛物线）的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. 5C. 6D.
【答案】A
【解析】在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，
在直角三角形中，已知，，可得.
因为为的中点，在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，
所以. 设抛物线于底面圆的一个交点为H,
由已知可得点的横坐标为的长度，纵坐标为，不妨取.
设抛物线方程为，把代入抛物线方程可得，
即，解得.
对于抛物线，其焦点到准线的距离就是的值，
所以抛物线的焦点到准线的距离为.
故选：A.
8. 函数在的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
则，
令，，则，
所以，，
由二次函数的性质可得当，取得最大值，
又，所以.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于y轴对称B. 函数的图象关于原点对称
C. 函数存在最小值D. 函数不存在最大值
【答案】BD
【解析】已知函数，其定义域为，关于原点对称.
根据奇函数的定义可知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故选项A错误，选项B正确.
令，则或.
由，解得；由，解得，.
当时，，的值在之间不断变化.
当时，，此时；
当时，，此时.
这说明函数既没有最大值也没有最小值，故选项C错误，选项D正确.
故选：BD.
10. 如图，四边形是一个矩形，，，半圆面平面，动点沿着半圆弧从点运动到点（点不与点、重合），下列说法错误的是（ ）
A. 当点运动到某一位置时，
B. 总有平面平面
C. 当点运动到半圆弧的中点时，二面角的正切值为
D. 三棱锥的外接球的体积先增后减
【答案】ACD
【解析】因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
对于A选项，当点运动到某一位置时，，
由圆的几何性质可知，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，这与矛盾，A错；
对于B选项，因为平面，平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，B对；
对于C选项，取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，
当点为半圆弧的中点时，，
因为为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以，二面角的平面角为，
因为，所以，
所以，，即二面角的正切值为，C错；
对于D选项，因为平面，，
将三棱锥补成长方体，
则三棱锥的外接球直径为为定值，
故三棱锥的外接球的体积为，D错.
故选：ACD.
11. 如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为．分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为、，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，当，即一秒后两点的距离仍为2，所以同时往左或往右一步，
则，故A正确；
对于B，当，即两秒后两点坐标和仍为2，
所以；或；或，而且向左向右的顺序不影响结果，
所以，，
，，，
所以，故B错误；
对于C，当，即或时，
所以，故C错误；
对于D，，由C可得，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线的离心率为2，则实数______．
【答案】12
【解析】由双曲线知，，，
所以，
解得.
故答案为：12
13. 的末三位数是____________．
【答案】481
【解析】因
，
因是正整数，
故被1000除之后得到的余数为，即的末三位数是481.
故答案为：481.
14. 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为____________．
【答案】
【解析】令，由，
得，函数是偶函数，
当时，，则，函数上单调递增，
由，得，
整理得，即，因此，即，解得，
所以实数t的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前n项和为，求使得的n的最小值．
解：（1）由数列的前n项和可得：
当时，，
当时，，
即得：，
因此得．
（2）因为，
所以数列的前n项和关于n单调递增，
而，
，
因此，使得的n的最小值为4．
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数的最小值是2，求实数a的值．
解：（1）当时，，
将代入得：，
函数的导数为，
曲线在点处切线的斜率为，
因此，曲线在点处的切线方程为：
，即：．
（2）对求导：，
①当时，恒有，
于是在上单调递减，
此时，无最小值；
②当时，令，得，
当都有在上单调递减；
当都有在上单调递增
因此在处取得最小值，
依题意，，即：
解得：．
综上，当时，函数的最小值是2．
17. 如图乙，在等边中，D为上一点，且分别在边上，．
（1）如图甲，当点F与点C重合时，求；
（2）求面积的最小值．
解：（1）当点F与点C重合时，
在中，，
由余弦定理得：
，
得，
于是，
而，
因此．
（2）设，
在中，由正弦定理，得，
所以，
在中，，
同理，得，
故，
当时，的最大值为，
此时的面积取得最小值，即．
18. 如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙．

（1）当二面角为时，求的长；
（2）在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由．
解：（1）连结与交于点M，
依题意，，
于是四边形和均为菱形，
和等边三角形，
所以，
又，
于是在图中，即为二面角平面角，
即有，
由余弦定理得：
，
所以．

（2）平面平面的情况不存在．
设平面平面，
因为平面，所以，
而且，
因此平面，即有平面，
于是为二面角的平面角，
因为，所以在等腰中不可能等于直角，
即平面平面的情况不存在．

19. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q．
①证明：定值；
②求面积的最大值．
解：（1）在圆C的方程中，令，得，解得，即得
又 ，则，
于是，解得，
因，故
因此椭圆E的方程为．
（2）①由题意设，
又，所以，
直线的方程为，
当时，，即
此时，，
因，则，
代入上式可得，，即为定值．
②设直线的方程为，
联立，得，
所以，
则，
，
由 ，
化简得，解得或（此时直线过点，不合题意，舍去），
即直线的方程为，经过定点，
所以
，
令，则，则，
因在上单调递增，
故时，即时，取得最小值为4，取得最大值为，3
2.5
0.5
10
12
6