广东省梅州市2025届高三下学期2月总复习质检数学试卷（含答案）

这是一份广东省梅州市2025届高三下学期2月总复习质检数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列集合之间关系正确的是( )
A. {x|x2=1}={x|x3=x}
B. {x∈R|x2+1=0}⊆{x∈R|x2−1=0}
C. {1,2}⊆{(x,y)|x+y=3}
D. {(x,y)|x+y=3}⊆{(x,y)|x+y=32x−y=1}
2.已知复数z满足|z|−3i=z+1，其中i为虚数单位，则|z|=( )
A. 2 3B. 4C. 2 5D. 5
3.如图，已知同一平面上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为60∘，点A，B分别在直线a，b上，且|OA|=|OB|≠0.设OP=λOA+μOB，若点P落在阴影部分(不含边界)，则下列结论正确的是( )
A. λ>μ>0B. λ0D. −μ>λ>0
4.如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入38cm3的水，水面高度恰好为棱台高度的12，且AB=6cm，A1B1=2cm，则这个容器的容积为( )cm3
A. 52B. 60C. 68D. 76
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6csx，若f(π2−t)−f(t)>cst−sint，则实数t的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an3n}的前n项和为Tn，满足Tn=n2，n∈N∗．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，求使得Sn>500的n的最小值．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−lnx.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(2)设函数f(x)的最小值是2，求实数a的值．
17.(本小题12分)
如图乙，在等边△ABC中，D为AB上一点，且AB=3AD=3，E，F分别在边AC，BC上，DE⊥DF．
(1)如图甲，当点F与点C重合时，求sin∠ADE;
(2)求△DEF面积的最小值．
18.(本小题12分)
如图甲，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=1，BC=2，E为BC的中点，将△ABE沿着AE翻折至△APE，如图乙．
(1)当二面角P−AE−C为120∘时，求PD的长;
(2)在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面AEP⊥平面CDP，若存在，求出此时点P到平面AECD的距离;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知F1，F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以DF1为直径的圆C:x2+(y−34)2=2516过焦点F2．
(1)求椭圆E的方程;
(2)P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设PB交直线x=4于点M，AM交椭圆E于点Q．
①证明：kAP⋅kAQ为定值;
②求△APQ面积的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.D
6.D
7.A
8.B
9.BD
10.ACD
11.AC
12.12
13.481
14.−∞,π4
15.解：(1)由数列{an3n}的前n项和Tn=n2可得：
当n≥2时，an3n=Tn−Tn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
当n=1时，a131=T1=1=2×1−1，
即得：an3n=2n−1，n∈N∗，
因此得an=(2n−1)⋅3n，n∈N∗．
(2)因为an=(2n−1)⋅3n>0，
所以数列{an}的前n项和Sn关于n单调递增，
而S3=1×31+3×32+5×33=3+27+135=165500，
因此，使得Sn>500的n的最小值为4．
16.解：(1)当a=1时，f(x)=x−lnx，∴f′(x)=1−1x．
∴f(e)=e−1，f′(e)=1−1e．
∴曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y−(e−1)=(1−1e)(x−e)．
即y=(1−1e)x；
(2)f′(x)=a−1x=ax−1x，x>0．
当a⩽0时，f′(x)0时，令f′(x)=0，得x=1a，
当x∈(0,1a)时，f′(x)0．
∴f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，
∴f(x)的最小值为f(1a)=a×1a−ln1a=2，则ln1a=−1．
∴a=e，综上，a=e时函数f(x)的最小值是2．
17.解：(1)当点F与点C重合时，在△CDB中，B=60∘，BD=2，BC=3，
由余弦定理得：CD2=BD2+BC2−2⋅BD⋅BC⋅cs600
=22+32−2×2×3×12=7，
得CD= 7，
于是cs∠CDB=DC2+DB2−CB22⋅DC⋅DB=( 7)2+22−322× 7×2=12 7，
而∠ADE=90∘−∠CDB，
因此sin∠AED=sin(90∘−∠CDB)=cs∠CDB= 714．
(2)设∠ADE=θ(0