湖北省七市州2024-2025学年高三下学期3月联合统一调研测试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省七市州2024-2025学年高三下学期3月联合统一调研测试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知全集，，，则， 复数是成立的， 若小明坐公交上班的用时等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以，
又，，
所以，则.
故选：C
2. 复数是成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，
再计算：
，
所以当时，成立，充分性成立.
由，则：，
即或，所以当时，不一定等于，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以复数是成立的充分不必要条件，
故选：A.
3. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】因为是方程的两个根，
所以，
又因为在等比数列中，，
又因为是正项等比数列，所以，
所以，
故选:B.
4. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把函数（）的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数是（），且它是偶函数，
所以（），，（），
又因为，所以.
故选：B．
5. 已知向量，向量满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】设，则，
又，即，所以，
所以，解得
所以，
所以当时取得最小值，且最小值为.
故选：C
6. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两个不同的点，且为线段的一个三等分点，则（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】设，不妨设，
所以，则，
令，所以，则，
由，所以.
故选：B
7. 已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
即.
因为是定义域为的单调递减函数，
所以函数单调递减，
又因，
故，即.
故选：A.
8. 长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】点在以的中点为球心，半径为的球面上，
又点在平面上，点在平面与球的一个截面圆上.
取的中点的中点的中点，连接，
因为平面，所以面面，面面，
作于，所以面，由相似三角形性质可得，，所以，，点在以为圆心，为半径的圆上.
因为，所以在该圆上，则的最大值为.
故选：D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
【答案】BD
【解析】由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大，
即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高，
则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，
易知，故A错误；
由原则可知，故B正确；
根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，
，建立方程，
整理可得，
则，故C错误；
易知，故D正确.
故选：BD
10. 双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且的内切圆圆心为，则（ ）
A. 点在直线上
B.
C. 外接圆的面积为
D. 连结交轴于点，则
【答案】ACD
【解析】根据题意，设的内切圆半径为，则，设内切圆与边的切点为，
则有，，结合双曲线定义和内切圆的性质可得，即.
所以双曲线的方程为，焦点.
对于A，点在直线上，故A正确；
由题意，点在第一象限，设内切圆与边的切点为，连接，
易知且，
则四边形是正方形，即有，易得点坐标为.
对于B，在中，,根据勾股定理，，，所以，故B错误；
对于C，由已知条件可知，三角形外接圆半径，所以圆面积为，故C正确；
对于D，在中，因为，所以，则，故D正确.
故答案为：ACD.
11. 已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】，数形结合，得到内的大致图象为如图所示，
故，，A对.
由得，
即
由题意，则，
，则，B正确.
又，D正确.
因为，从而C错误.
故选：ABD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
则，故.
故答案为：
13. 的展开式中的系数为__________.
【答案】20
【解析】展开式的通项是，
分别令得，
所以展开式中项为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：20.
14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知数列满足，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则__________.
【答案】
【解析】因为或，
又，
设2025个差中有个2和个，故，所以，
即数列前2026项成等差数列，公差为.
令，
即，
则
，
所以为奇函数，结合题设易知，故.
故答案：
四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若为边上一点（异于端点），，求的取值范围.
解：（1）在中，因为，
所以，
得到，
据正弦定理可得，则，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）在中，因为，
所以，则，
由正弦定理得，
则，
又因为，所以，则，
结合函数性质可得，故的取值范围为.
16. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面.

（1）证明：；
（2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：过点作于，

由平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，故，又为直径，易知，
且平面，所以平面，平面，
，且，平面，，
平面，平面，故.
（2）由（1）知，，
当时，取到最大值，过点作于，
建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴，
设平面与平面的法向量分别为.

则，，
所以，则，
令，可得，因为平面法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，讨论方程的根的个数.
解：（1）的定义域为，则，
因，由，解得，
当时，恒成立，
所以的无递增区间，递减区间为；
②当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
③当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
（2）由题设，
令，则，即在上单调递增，
故上式中满足，则有，可得，
令，则，由解得.
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，当时，，
故.
结合图象，可知，
当时，方程有0个实根；
当或时，方程有1个实根；
当时，方程有2个实根.
18. 已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：
若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设.
（1）求的分布列；
（2）记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为.
（i）求商品A的定常态分布；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求大于供给的概率.
解：（1）由题意，第2周开始时商品A不同供给量的概率为：
，，
第3周开始时商品A供给量的概率为：
.
第3周开始时商品A的供给量分布列为
（2）（i）记为商品A第周内的的需求量，由题意，与的状态有关，
当时，若，则；若，则，
设，即，
由全概率公式可得，
，
由，得，解得，故.
（ii）由（i）可知，定常态分布，所以从长远来看，
，
记商品A需求大于供给的概率为，由全概率公式得
.
19. 已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到.
（1）求；
（2）记直线的斜率为.
（i）设的面积分别为，证明：；
（ii）若，求证：.
解：（1）由题意在处的切线方程为；
令，可得，即.
由可知在处的切线方程为；
令可得，即；
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以.
（2）（i）设，由题意不同时为0，不妨令且；
.
由（1）可知；
则.
要证，即证，即证；
令，即证，再令，即证，即证.
构造函数，则，所以在上单调递增；
即.所以得证.即.
（ii）由（i）可知，，所以.
因为，得；
即，即.
得，因为，所以；
所以.
所以.即.
当时，有，即；
所以，从而.对A的需求量
0
1
2
3
概率
1
2