湖北省七市州2024-2025学年高三下学期3月联合统一调研测试数学试卷（Word版附解析）

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命题单位：恩施州教科院 审题单位：宜昌市教科院 十堰市教科院
2025.3
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效，
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知全集 ， ， ，则 （ ）
A B. C. D.
2. 复数 是 成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在正项等比数列 中， 是方程 的两个根，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
4. 函数 的图象向右平移 个单位长度后，其图象关于 轴对称，则
（ ）
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A. B. C. D.
5. 已知向量 ，向量 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 交于两个不同的点 ，且 为线段 的
一个三等分点，则 （ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
7. 已知 是定义域为 单调递减函数，且存在函数 使得 .若 分别是方程
和 的根，则 （ ）
A. 3 B. C. 6 D.
8. 长方体 中， ，点 是平面 内的动点，且 ，
则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分，每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若小明坐公交上班的用时 （单位：分钟）和骑自行车上班的用时 （单位：分钟）分别满足
，且同一坐标系中 的密度曲线与 的密度曲线在 分钟时相交，则
下列说法正确的是（ ）
A
B.
C. 若 的密度曲线与 的密度曲线相交所对应的另一个时间为 ，则
D. 若要在 34 分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10. 双曲线 的左右焦点分别为 为坐标原点，点 在双曲线上，且 的内
切圆圆心为 ，则（ ）
A. 点 在直线 上
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B.
C. 外接圆的面积为
D. 连结 交 轴于点 ，则
11. 已知函数 是其导函数.若存在 且 ，满足 ，
则（ ）
A B.
C. D.
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 已知 ，则 __________.
13. 的展开式中 的系数为__________.
14. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.已知数列 满足 ， ，当 时，令
，若函数 的图象关于点 成中心对称图形，则 __________.
四､解答题：本题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 .
（1）求 ；
（2）若 为边 上一点（异于端点）， ，求 的取值范围.
16. 如图，点 是以 为直径的半圆上的动点，已知 ，且 ，平面 平面
.
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（1）证明： ；
（2）若线段 上存在一点 满足 ，当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与
平面 夹角的余弦值.
17. 已知函数 .
（1）当 时，讨论 单调性；
（2）若 ，讨论方程 的根的个数.
18. 已知某商店出售商品 A，据统计分析，发现顾客对商品 A 的需求量相对稳定，每周内对商品 A 的不同需
求量（单位：个）与概率的数据如下：
对 A 的需求量 0 1 2 3
概率
若以商品 A 的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品 A 进行盘点存货：如果商品 A 都
售出了，则在周末及时采购 2 个新的商品，只要商品 A 还有 1 个存货，就不采购新的商品.记 为该商店
第 周开始时商品 A 的供给量，假设 .
（1）求 的分布列；
（2）记 为第 周开始时供给量 的概率向量，随着 的增大，若
，则 趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为 .
（i）求商品 A 的定常态分布 ；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品 A 需求大于供给的概率.
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19. 已知函数 的图象 与椭圆 交于 两个不同的点.
是 上的点， 在 处的切线交 轴于点 ，过 作 轴的垂线交 于 在 处
的切线交 轴于点 ，过 作 轴的垂线交 于 ，重复上述操作，依次得到
.
（1）求 ；
（2）记直线 的斜率为 .
（i）设 的面积分别为 ，证明： ；
（ii）若 ，求证： .
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