海南省乐东县2025届高三下学期2月联考数学试卷（解析版）

这是一份海南省乐东县2025届高三下学期2月联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】∵的周期为4，∴的周期为2，
故选：C.
3. （ ）
A. 1B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】由题意可得，
则.
故选：C.
4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
5. 已知向量，若与垂直，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】由题可知，
因为与垂直，所以，解得，
所以，
故选：C
6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，所以即，
故，故圆锥的体积为.
故选：B.
7. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣csC）=0，
∴sinAcsC+csAsinC+sinAsinC﹣sinAcsC=0，
∴csAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴csA=﹣sinA，
∴tAnA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A=，
由正弦定理可得，
∵a=2，c=，
∴sinC== ，
∵a＞c，
∴C=，
故选B．
8. 已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，函数，可得为奇函数，且在上单调递增，
由恒成立，即恒成立，
又由，
所以，即，
把不等式的恒成立转化为“对任意的，恒成立”．
当时显然不成立，
当时，则满足，解得．
故选C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A. 等差数列的公差B. 的最大值为
C. D.
【答案】ABC
【解析】由，则，解得，故A正确；
因此可得数列是以为首项，为公差的等差数列，
由，则数列为递减数列，即∀n∈N*，an>an+1，故D错误；
又，
当时，，所以的最大值为，故B正确；
由，故C正确；
故选：ABC.
10. 已知函数的最小正周期是，把它的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数为奇函数.给出下列结论：①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③在上单调递减；④在上有3个零点.其中所有正确结论的有（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】AC
【解析】因为的最小正周期是，所以，得，
又为奇函数，
所以，又，所以，即.
对①：因为，
所以函数的图象关于直线对称，①正确；
对②：因为，
所以的图象不关于点对称，②错误；
对③：当时，，
因为函数在区间上单调递减，
所以函数在上单调递减，③正确；
对④，令得，即，
由得，故，
即上有2个零点，④错误.
故选：AC
11. 设抛物线的焦点为F，准线为，为上一点，以点F为圆心，为半径的圆交于B，D两点，，且的面积为，则（ ）
A. 是正三角形 B.
C. 抛物线的方程为 D. 若AF与抛物线交于另一点E，则
【答案】AC
【解析】设圆与轴的交点为，根据题意作图，如图所示:
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，
又，故，在抛物线上，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
则，解得，故B错误；
由，可得轴，则，
则，解得，
则抛物线的方程为，故C正确．
又，故D错误；
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若，则________．
【答案】-7
【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.
13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .
【答案】
【解析】∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，
∴这次试验成功的概率p＝1﹣（）2，
∴在2次试验中成功次数X～B（2，），
∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）．
故答案为．
14. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．
【答案】（，）
【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.
四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
附：．
临界值表：
解：（1）由调查数据得问卷得分不低于60分的概率为
，
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6．
（2）由题意得列联表如下：
，
因为，
所以有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关．
16. 已知数列是等比数列，数列满足，，．
（1）求通项公式；
（2）求的前项和．
解：（1）设等比数列的公比为，
由于数列满足，，．
当时，则，即，可得；
当时，则，即，可得.
，，；
（2），即，，且，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，.
设数列的前项和为，则，①
，②
①②得，
.
17. 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：在图1中，
因为，，是的中点，，所以
即在图2中，，
从而平面
又，所以平面．
（2）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，
所以为二面角的平面角，所以．
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为，
所以
得，．
设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，
则，得，取，
，得，取，
从而，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，
，
，
所以切线方程为：，即：；
（2）由题，可得
由于，的解为，
a.当，即时，，则在上单调递增；
b.当，即时，
在区间上，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为.
c.当，即时，
在区间 上，
在区间上，，
则在上单调递增，上单调递减.
（3）解法一：
a.当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立
b.当时，，
所以在上单调递增，所以成立.
c.当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
解法二：
当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.
即在上恒成立.
当时，，所以.
当时， ，所以恒成立.
设，则
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求“共轭点对”中点所在直线的方程；
（3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
解：（1）依题意，椭圆的另一焦点为，
因此 ，
于是，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上，
依题意，直线l的方程为，整理得，
所以直线的方程为.
（3）由（2）知，直线：，由，解得或，则，，
设点，，则，两式相减得，
又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分，
设点到直线的距离为d，则四边形的面积，
而，则有，
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离，
所以.
得分
男性人数
40
90
120
130
110
60
30
女性人数
20
50
80
110
100
40
20
不太了解
比较了解
男性
女性
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不太了解
比较了解
男性
250
330
女性
150
270