广东省部分学校2025届高三下学期2月联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省部分学校2025届高三下学期2月联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知函数为偶函数，则， 已知，则的最小值为， 中，点满足，且，则， 记为等差数列前项和，已知，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，得.
故选：C.
2. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 1
【答案】C
【解析】由题意可知函数的定义域为，因为是偶函数，
所以，
整理得，故，得.
故选：C.
3. 已知小明和小王从5张编号为的卡牌中依次不放回各抽取2张卡牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于3，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】由小明手中的两张卡牌编号和为3，可知小明手中的两张卡牌编号分别为1，2，
根据题意此时小王手中的两张卡牌编号可能为中的两个，均满足编号不小于3，充分性成立，
若小王手中的两张卡牌编号均不小于3，
例如3，4，此时小明手中的卡牌编号可能有5，不满足小明手中的两张卡牌编号和为3，
故必要性不成立，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选:A.
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】设，则，
而.
故由可解得，故，
于是，故的最小值为1.
故选：A.
5. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年10月至2025年2月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）代表AI电脑该月销量.
经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则预测2025年3月该市AI电脑的月销量约为（ ）
A. 1.63万台B. 1.57万台C. 1.61万台D. 1.72万台
【答案】A
【解析】因为.
所以，所以关于的线性回归方程为，
令，故此时万台.
故选：A.
6. 已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，因为的斜率为，所以直线的斜率为，
故直线的方程为4，
将直线的方程与联立，设两直线的交点为，则，
所以，解得，将的坐标代入的方程，
有，解得，故的准线方程为.
故选:B.
7. 中，点满足，且，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】由题意可得
，
，，
因为，所以，
即，
故，于是.
故选：C.
8. 已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由的定义域为，
时，，
结合正切函数的单调性可知，
解得，
由可知，
由可知，即，
即，而，故只能为0或1，
时，结合可知；时，，
于是.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记为等差数列前项和，已知，则（ ）
A. 的公差为3B.
C. 有最小值D. 数列为递增数列
【答案】BC
【解析】对于A，由题意可得
，解得，故A错误；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，所以当时，取到最小值，故C正确；
对于D，，且，故D错误.
故选：BC.
10. 已知为圆上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 始终关于原点对称
B. 圆与关于原点对称
C. 与上的点的最小距离为6
D. 与上的点的最大距离为12
【答案】BC
【解析】圆的圆心为，半径为2，
对于A，设，由，得，则关于原点不一定对称，A错误；
对于B，由在圆上，则，
化简得到，是以为圆心，2为半径的圆，圆与关于原点对称，B正确；
对于C，由选项B知，两圆的圆心距离为，即两圆外离，
与上的点的最小距离是的圆心距离再减去两圆半径和的差，即，C正确；
对于D，与上的点的最大距离是的圆心距离再加上两圆半径和，即，D错误.
故选：BC
11. 中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于，
因，故，故是锐角三角形.
由，于是，故A正确；
对于，
由可知，故，故B正确；
对于C，设函数，则，故在区间上单调递增，
故当时，，即.于是，故，故C正确；
对于D，当时，，此时，
又因为，此时，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线的实轴长与焦距之积为__________.
【答案】
【解析】由知双曲线的焦点在轴上，且，
故其焦距为，
故双曲线实轴长与焦距之积为.
故答案为：.
13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】解法一：由题意可得，而恒成立，
故仅有时满足题意.
解法二：令，由复合函数单调性可知外层函数在上单调递增，
故内层函数在上也要单调递增，
故时满足，其他情况均不满足，
故的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知某圆锥的顶点和底面圆周上的点均在球的表面上，且球的表面积与体积相等，则该圆锥侧面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】由可知，故球半径为3，
由题意可知，为使该圆锥侧面积取得最大值，此时球心在该圆锥的高上，作出该圆锥的轴截面，
如图其中，分别表示该圆锥的母线长，底面圆半径，球心到底面圆的距离，球心可能在圆锥内或圆锥外，
故，，
故圆锥侧面积，
记函数，
则.
当时，单调递增；当时，单调递减.
故，于是.
故答案为:.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为.
（1）求；
（2）求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差；
（3）从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列.
解：（1）因为样本极差为，.
（2）求得参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为，
所以方差.
（3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为，故可能值为.
则的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长均为7，
的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长分别为6，8，
故，
，
，
故的分布列为
16. 如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.
（1）证明：平面平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点，
所以，又平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以，
取BE的中点M，连接，则四边形是边长为2的菱形，
所以，又，所以，
因为且都在面内，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，两两垂直，
以H为原点，所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设直线与平面所成的角为θ，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 设函数.
（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（2）若存在零点且与极值点相等，求的最小值.
解：（1）因为，所以，.
当时，，且，.
故曲线在原点处的切线方程为，即.
（2）设既是的零点，也是的极值点，
则有，，
解方程，解得或.
①当时，，
解得，又，故；
②当时，，
且易知，
又，故只有，结合，同①解得.
综上，，当时，取最小值，经检验，符合题意.
18. 已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点.
（1）求的离心率；
（2）已知；
（i）证明：点在轴的异侧；
（ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值.
解：（1）由题设，.
则，即，且，即.
则的离心率为.
（2）（i）由（1）可得，设.
则
由，得，即0.
故必存在一点在第一象限，另一点在第四象限，即点在轴的异侧.
（ii）记的面积为，点到的距离为，则.
要使最小，则必须使与同时达到最小值.
显然当运动至的右顶点时最小，此时，
而，
当且仅当或时取等号，最小值为.
此时.
且，
故，解得.

19. 若正整数数列满足：存在连续项之和为正整数，则称数列为“—和数列”.已知项数为的正整数数列对于任意整数，有.
（1），写出一个满足条件的2—和数列；
（2）时，证明：是4—和数列；
（3）对于任意，证明：是既为—和数列，也为—和数列.
（1）解：取满足题意.
（2）证明：记为的前项和，则有，
另一方面，要考虑存在两个不相等的，使得，
则对于，有：，
则与是1到39中的40个整数，
因此其必存在两个数相同，又，则必存在，使得，
因此，即，因此是4—和数列.
（3）证明：①记为的前项和，则有，
对于，有：，
则与是1到中的个整数，
因此其必存在两个数相同，又，则必存在，使得，
因此，即，
因此是—和数列.
②若存在的倍数，由于，则存在必为，
则是—和数列，
若其中没有的倍数，则必然是除以余的数，
其中共有种不同的可能，而是个不同的数，
因此必存在，使得除以的余数相同，
因此存在，使得是的倍数，
又，则，
则，故为—和数列.月份
2024年10月
2024年11月
2024年12月
2025年1月
2025年2月
月份代号
1
2
3
4
5
月销量
万台
0.5
0.9
1
1.2
1.4
日均睡眠时长
5
6
7
8
9
小鼠数量
6
19
25
16
8
0
1
2