四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试卷（解析版）

这是一份四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设函数在处可导，且满足，则（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对A，函数定义域为，则其不具有奇偶性，故A错误；
对B，函数定义域，关于原点对称，
且，
则为奇函数，且根据反比例函数性质易知其在上是增函数，故B正确；
对C，根据，根据指数函数图象知其不具有奇偶性，且在上是减函数，故C错误；
对D，函数定义域为，且，则其为偶函数，故D错误.
故选：B.
3. 在的展开式中，项的系数是（ ）
A. 20B. 10C. D.
【答案】C
【解析】对有，
则，
即项的系数是.
故选：C.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，则，即，
故，则.
故选：A.
5. 为了贯彻落实教育部印发的《普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）》，同时完善学生的知识结构，提高学生的综合素质，培养高中生的人文精神、科学精神、创新意识和实践能力，西昌市某学校高二年级开设了3门社科类选修课和3门艺术类选修课，学生需从6门课中选修3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案有（ ）种．
A. 12B. 15C. 16D. 18
【答案】D
【解析】，故不同的选课方案有种.
故选：D.
6. 某校高二年级组织学生去某旅游名胜区春游，包含小明在内的6位同学站成一排照相，小明不站在两端，则不同的排法有（ ）种．
A. 240B. 300C. 360D. 480
【答案】D
【解析】小明先在中间4个位置选一个，然后再排其他5位同学，
共有.故选：D.
7. 已知函数在上为减函数，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得在上恒成立，
则有在上恒成立，由在上单调递增，
则有，故.
故选：C.
8. 函数存在3个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数，求导得，
当时，，函数在R上单调递增，该函数最多一个零点；
当时，由，得或，
由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
函数存在3个零点，当且仅当，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于的展开式，下列说法正确的有（ ）
A. 二项式系数之和为128B. 各项系数之和为128
C. 常数项为第四项D. 的系数为60
【答案】CD
【解析】对有，
对A：二项式系数之和为，故A错误；
对B：令，可得，即各项系数之和为1，故B错误；
对C：令，则，故常数项为第四项，故C正确；
对D：，故的系数为60，故D正确.
故选：CD.
10. 在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（ ）
A. 若任意选科，则选法总数为12种
B. 若政治必选，则选法总数为3种
C. 若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种
D. 若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种
【答案】ACD
【解析】对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D正确.
故选：ACD.
11. 若函数有两个极值，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】，令，，
由函数有两个极值，则有两个变号正零点，
设这两个变号正零点分别为，且，
则，且有，，，
即可得，且.
故选：ACD.
12. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若是上的增函数，则
B. 当时，函数有两个极值
C. 当时，函数有两零点
D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点
【答案】AB
【解析】对A：，
由是上的增函数，
则有恒成立，即，解得，故A正确；
对B：由，则当时，，
故有两个不等实根，设这两个根分别为且，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故函数有两个极值，故B正确；
对C：令，
对，有，若，则，
此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误；
对D：当时，，则，
，由，则在点处的切线为，
令，即有，解得或，
故在点处的切线与有两个公共点，故D错误.
故选：AB.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一个不透明盒子中有4个质地均匀，大小形状相同的小球，分别为A，B，C，D，现从中随机抽取两个小球，则小球未被抽中的概率为______.
【答案】
【解析】列举以下所有情况，样本空间为：，共6种，
其中不含的有，，共3种，则根据古典概型知：
小球未被抽中的概率为.
故答案为：.
14. 的展开式中的常数项为_______．
【答案】
【解析】，令，得，
所以常数项为.
故答案为：
15. 已知定义在上的可导函数,满足在上恒成立，且，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】令，则有，
由在上恒成立，故在上恒成立，
即函数上单调递增，
由，则，
即不等式可转化为，
结合函数单调性可得，即不等式的解集为.
故答案为：.
16. 定义函数．曲线在处的切线斜率为，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】，
则
，即，
令，即，由，则，
由，故，即，即不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.17题10分，18题—22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）（为常数）；
（3）．
解：（1）；
（2）；
（3）.
18. 现有5名实习生通过了实习考核，将他们分配到4个岗位，每个人只能去一个岗位．
（1）不同的分配方案共有多少种?
（2）若每个岗位至少分配一名实习生，则不同的分配方案有多少种?
解：（1）5名实习生都有4种选择，，
故不同的分配方案共有种；
（2）先将5名实习生分成4组，共有种分法，
再将4组实习生分配到4个岗位，共有种分法，
故共有种不同的分配方案.
19. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512；
条件③：展开式中常数项为第4项．
问题：已知二项式，若______，求：
（1）展开式中二项式系数最大的两项；
（2）展开式中的第九项．
解：（1）对有，
若选条件①：展开式中前三项二项式系数之和为46，
则有，即，
整理得，由，故，
则展开式中二项式系数最大的两项为：
，；
若选条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512；
则有，解得，
则展开式中二项式系数最大的两项为：
，；
若选条件③：展开式中常数项为第4项，
则有，解得，
则展开式中二项式系数最大的两项为：
，；
（2）由（1）知，，故对有，
则.
20. 已知函数．
（1）求证：
（2）设，若在区间内恒成立，求k的最小值．
解：（1）函数．所以，
令，
可得，令，可得，
当时，，函数是增函数，
当时，，函数是减函数，
所以时，函数取得最大值：，
所以，即．
（2）设，若在区间内恒成立，
即：，令，
可得，
当时，，函数是增函数，当时，，函数是减函数，所以时，函数取得最大值：，
可得，k的最小值为1．
21. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论的单调性．
解：（1）当时，，
则，
令，得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
（2），
令，则或，
当时，
，，，，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当时，
，，，，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增；
综上所述，
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
22. 已知函数，
（1）求曲线过点的切线方程；
（2）若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围．
解：（1），设切点为，则有，
即有，则有，解得，
则，，即，
整理得；
（2）由题意可得，当时，，
令，，，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故；
由，，
则，
①当时，有，令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时，
则有，解得，即；
②当时，令，有，，
若，即时，恒成立，则在上单调递增，
此时无最大值，且时，，故舍去；
若，即时，当时，，
当时，，故在上单调递增，
在上单调递减，此时无最大值，故舍去；
若，即时，当时，，
当时，，故在上单调递增，
在上单调递减，此时无最大值，同理舍去；
综上所述，.