宁夏银川市、石嘴山市2025届高三学科教学质量检测（一模）数学试卷（解析版）

这是一份宁夏银川市、石嘴山市2025届高三学科教学质量检测（一模）数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则.
故选：B
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数是定义在上的奇函数，则
当时，，故，
所以.
故选：A
4. 已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
令，
解得，所以其单调递增区间为.
故选：A.
5. 已知函数，若函数与图象有三个交点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数与的图象有三个交点，所以，
当时，方程必然成立，
当时，分离参数可得，则与有两个交点，
若，则，若，则，如图所示，

结合图像，要与有两个交点，需满足.
故选：C
6. 如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得质点P位移为，
所以
因为，，所以，
设的夹角为，所以，
因为所以，
所以.
故选：D
7. 已知抛物线C的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过F且垂直于l的直线与C的准线交于点D．若，则（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】B
【解析】令，则，可设，若，即，
联立抛物线和直线，可得，则，，
而，即，故，，
所以，则，可得，故，，
所以，则，，
由上，联立，可得，即，
所以，可得，故，
所以.
故选：B
8. 现有编号为A，B，C的三盏灯和三个开关，每个开关单独控制一盏灯，每按一次开关相应的灯都按红、黄、蓝的顺序变换一次颜色．假设三盏灯初始颜色均为红色，如果三个开关总共按90次，则三盏灯的颜色不可能是（ ）
A. 红、红、红B. 红、蓝、黄C. 红、黄、黄D. 黄、黄、黄
【答案】C
【解析】由题意可知，按次后灯为黄色，按次后灯为蓝色，按次后灯为红色，其中，设分别与A，B，C三盏灯对应，
A：若最后为红、红、红，则共按次，即，故A可实现；
B：若最后为红、蓝、黄，则共按次，即，故B可实现；
C：若最后为红、黄、黄，则共按次，即，故C不可能实现；
D：若最后为红、蓝、黄，则共按次，即，故D可实现；
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则（ ）
A. 圆柱的轴截面为正方形
B. 过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分
C. 圆柱的表面积为
D. 若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是
【答案】BCD
【解析】如图所示，对于正方体和圆柱，正方体的中心为，
对于选项A：由题意可知：，
所以圆柱的轴截面不为正方形，故A错误；
对于选项B：因为正方体的中心也为圆柱的中心，
根据对称性可知过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分，故B正确；
对于选项C：可知圆柱的底面半径为，母线长为2，
所以圆柱的表面积为，故C正确；
对于选项D：可知该球的球心为，
则，即球的半径为，
所以该球的体积是，故D正确；
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 函数的图象位于直线与之间
C. 若是函数的极值点，则曲线在处的切线方程为或
D. 函数在区间上单调递减
【答案】ABC
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，由正弦函数的值域可得，即函数的图象位于直线与之间，故B正确；
对于C，若是函数的极值点，则，
又，所以，
且，
所以由点斜式可得曲线在处的切线方程为或，故C正确；
对于D，举反例，当时，；当时，，故D错误.
故选：ABC
11. 双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 双曲线的离心率
C. 直线与的斜率之积是2
D. 双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则
【答案】AD
【解析】由题设，且渐近线为，若垂直于，则，
，可得，同理得，
由，则，整理得，可得，B错，
所以，故渐近线方程为，A对，
在双曲线上，则，则，
所以，则，C错；
点P处的切线为，联立，得，
所以，则，
所以，则，故切线为，
令，则，故，D对.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某中学举办知识竞赛，题库中共有1000道试题，其中有500道A类题，300道B类题，200道C类题．根据以往经验，某同学答对A，B，C三类试题的概率分别为．若该同学从题库中随机选一道试题作答，则他答对的概率是________．
【答案】
【解析】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，
设学生答对试题为事件，则，，，
，，，
所以.
故答案为：.
13. 在中，点D在边BC上，，则________．
【答案】
【解析】不妨设，
因，由正弦定理可得，
则，即，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数的图象与直线交于A，B两点，且在处取得极值．设，若，则的面积为________．
【答案】
【解析】令，显然定义域为，
由，故为偶函数，
由，在、上单调递减，在、上单调递增，
且、上，上，
在区间内趋向时趋向正无穷，在、内趋向时趋向负无穷，
显然在处取得极小值，为，故的大致图象如下，
根据与的平移关系，若与的交点，则，极值点，
当，结合对称性易知，，又，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
（1）计算样本的平均数和方差；
（2）判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）．
解：（1），
.
（2）因为，，
所以，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．
16. 已知数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
（1）证明：因，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）解：（i）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
（ii）因为，
所以，
令，
不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为，
所以，即m的取值范围是.
17. 已知函数，其中．
（1）求函数的极值；
（2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的值；
（3）当时，证明：当时，．
（1）解：由题设且，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以有极小值，无极大值；
（2）解：由，则，故切线方程为，
而，令，则，
所以切点为，且在上，
所以，可得；
（3）证明：由，
问题等价于当，时，恒成立，
令且，则，
所以，
对于且，则，
所以，，即在上单调递增，
，，即在上单调递减，
所以，即恒成立，
所以，故在上单调递减，则，
综上，恒成立，结论得证.
18. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，O为底面ABCD的中心，．
（1）求证：平面ABCD；
（2）设M为的中点，CM交于点P，点Q满足．
（i）求直线AP与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）求平面与平面APQ夹角的余弦值的取值范围，并说明t取何值时，平面平面APQ．
（1）证明：由题设，显然，
易知为直角三角形，即，
连接，又，为公共边，则，即，
由题意为中点，则，
由且都在面内，则平面ABCD；
（2）解：（i）由（1）知平面ABCD，而且，则，
即为平行四边形，故，故面ABCD，且为正方形，
可构建如图示的空间直角坐标系，则，
由M为的中点，CM交于点P，设，
由，，则，
所以，则，可得，则，
而面的一个法向量为，
所以，
故直线AP与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）由，则，故，
又，，
若是面，即面的一个法向量，
则，取，故，
若是面APQ的一个法向量，
则，取，故，
所以，
由，则，所以，
当时，，此时平面平面APQ．
19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切．
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的射线交椭圆于两点．
（i）证明：直线与圆相切；
（ii）求面积的取值范围．
解：（1）由题意，椭圆离心率，点在椭圆上，则，
解得
所以椭圆的方程为
则右顶点，上顶点，直线，
圆心到直线的距离，即圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）（i）由题意，当直线的斜率不存在时，，或.
此时，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.

当直线的斜率存在时，设直线，
由可得，
设，则
，即，
化简得.
所以，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.
综上所述，直线与圆相切.
（ii）由（i）可知，当直线的斜率不存在时，
当直线的斜率存在时，
，
，则
综上，