安徽鼎尖教育2024-2025学年高一下学期2月联考数学试卷（解析版）

这是一份安徽鼎尖教育2024-2025学年高一下学期2月联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】易知当但当
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可知集合或
.
故选：D.
3. 已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，
得，
在同一坐标系中作出函数的图象，
如图所示：
由图象知：即
故选：B.
4. 已知定义在R上的奇函数满足：且当时，（m为常数），则的值为（ ）
A B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】因为为奇函数，
所以，
因为所以且周期
故选：C.
5. 已知函数若正实数，满足则的最小值为（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 9
【答案】D
【解析】由题可知函数为奇函数，所以
又因为为单调递增函数，所以
所以
所以即，当时等号成立.
故选：D.
6. 已知函数且在上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题可知函数的定义域为且
为偶函数，又在上单调递减，
在上单调递增，
又
又在上单调递增，
故选：C.
7. 设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为，则A的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：
设
则点
又
所以.
故选：A.
8. 已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】都使成立，等价于
单调递增，所以，
所以对于恒成立，
即，所以恒成立，所以，
单调递增，，
所以即
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】易知，显然A错误；
由对数运算可知，可得B正确；
当为负值时显然，即C错误；
易知，可得D正确.
故选：BD.
10. 下列命题是假命题的有（ ）
A. 若则B. 若则
C. 若则D. 若则
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，不等式不成立，A为假命题；
对于B，不等式不成立，B假命题；
对于C，不等式成立，C为真命题；
对于D，不等式不成立，D为假命题.
故选：.
11. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A. 点是函数的一个对称中心
B. 函数在区间上单调递增
C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】由题可知，最小正周期为，
，，令，
点是的一个对称中心，A正确；
，
函数在区间上单调递增，B正确；
，C错误；
，
当，函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，制作扇子的扇形面积为，圆面中剩余部分的面积为.当扇子扇形的圆心角的度数为时，扇面看上去形状较为美观，则此时__________.
【答案】
【解析】设圆面的半径为，则.
13. 已知则的值为__________.
【答案】0
【解析】原式.
14. 已知函数，若关于x的方程恰有5个实根，记为则__________.
【答案】
【解析】当时
当时
当时
当时
则当时，作出函数的图象如下，
所以
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：；
（2）已知且求角的值．
解：（1）原式.
（2）因为所以
因所以
所以
因为故
因为所以
16. 已知函数是定义在R上的增函数，图象关于原点中心对称．
（1）求m的值；
（2）若使得不等式恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1）由得定义域为R，由题意得是定义在R上的奇函数，
所以
检验：当时定义域为R，
又满足故是奇函数，所以.
（2）因为是奇函数，
所以原不等式可化为
又是R上的增函数，所以
所以问题转化为任意成立，即成立，
而对勾函数在上单调递增，所以当时为最小值，
故
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对使得求实数m的取值范围．
解：（1）由题可得则
当时取得最小值，则
所以又因为故
令解得
令解得
故函数的单调递增区间为
单调递减区间为.
（2）设的值域为集合A的值域为集合B，
根据题意可得：由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
的值域为
又上单调递增，
由得
解得
的取值范围是.
18. 已知定义在上的函数满足下列两个条件：
①对任意,都有；
②对任意且，都有.
请解答下列问题：
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明；
（3）证明：对任意正整数，.
提示：①.；②..
解：（1）令得：.
（2）令得：，
是奇函数，在上单调递减.
下面证明：任取且，
，，且，则，
而，则，
在上单调递减.
（3）
由、知在单调递减，，
当时，，，则，
得证.
19. 已知函数.
（1）求的值域；
（2）若，求的取值范围；
（3）解关于的方程：.
解：（1）易知；
因为，所以的值域为.
（2）若，即；
整理得，
令函数，易知函数为奇函数，且在上单调递增，
由可得；
化简得，解得；
故的取值范围为.
（3）解关于的方程，即解方程；
因为；
所以；
因此问题等价于解方程，且；
当时，
若，则，方程无解；
若，则，方程无解；
当时，
经检验方程的解是或.