山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试卷（解析版）

这是一份山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由向量，得.
故选：D.
2. 已知是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3. 在中，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】.
故选：A.
4. 在中，在线段上，为的角平分线，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在中，为的角平分线，，
，即，
因此，所以.
故选：C.
5. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在中，由正弦定理得，
则，
在中，，所以.
故选：A.
6. 已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设射线为终边的角为，而，
则，
，，
向量对应复数
，
所以向量的坐标为.
故选：B.
7. 如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（ ）
A. 5.861B. 5.674C. 5.076D. 4.926
【答案】C
【解析】令圆切直线于点，连接，设圆半径为，
依题意，，
则，则，得，
因此
.
故选：C.
8. 已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设向量共起点，由，得，
令，则，，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆，令圆心为，则，圆半径为1，
由与的夹角为，得向量的终点在与所成角为的两条射线上，如图，
而是圆上的点与射线上的点间距离，过作垂直于射线于，
，
所以的最小值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与的夹角的余弦值为
D. 向量在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】由向量，得，，
对于A，，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，则，C错误；
对于D，，向量在上的投影向量，D正确.
故选：ABD.
10. 设为复数，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】设，
对于A，，则，
，A正确；
对于B，
，B正确；
对于C，取，满足，而，，C错误；
对于D，取，，而，D错误.
故选：AB.
11. 已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，由重心为G，得，
则，A正确；
对于B，外心为O，有，，
，B错误；
对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得，
因此，C正确；
对于D，由，得，则，
，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______．
【答案】
【解析】，因为纯虚数，
则.
13. 如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为______．
【答案】3
【解析】由，
得，
而，，则，
又、、三点共线，则，所以.
14. 在圆内接四边形中，，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】在中，，
由余弦定理得，
则，，是四边形外接圆直径，，
设，则，
在中，，
由正弦定理得，
即，
在中，，
，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在三角形中，分别是边的中点，已知．
（1）求三角形的面积；
（2）求三角形的周长．
解：（1）如图，因分别是边的中点，
则设.
注意到，
则.
则由余弦定理：
.
解得，则在三角形中，.
由余弦定理可得，
从而.
则三角形的面积为：.
（2）由（1）易得三角形的周长为.
16. 已知复数，其中i为虚数单位．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
解：（1）首先，复数的模长平方 ，共轭复数 .
代入方程得：，
展开并整理实部和虚部：，
根据复数相等的条件，得到两个方程：，解得，
代入第一个方程：，
因此，复数.
（2）考虑.
则.
相减得：，
其中，（因为），且.
因此：，
解得：，
因此，，即，，
故.
17. 已知是平面内两个不共线的向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）试确定实数，使和共线；
（3）若，求实数的值．
解：（1），
所以，则有，
又与有公共点，因此三点共线.
（2）由于和共线，存在实数使得：，
和共线，有，
则有，解得，
所以.
（3），
则，，
由，
则，解得.
18. 已知三角形的内角的对边分别是，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求；
（3）若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值．
解：（1）由正弦定理边角互化可得：
，
又，
则，
从而，结合，
则或（舍去）.
故.
（2）因三角形的面积为10，内切圆的半径为.
则，则.
又由（1），.
则由余弦定理：.
化简后可得：.
（3）如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F.
由（1）可得，则，
又由角平分线性质可得，
又注意到，，
则，设，则.
又，则.其中.
故三角形面积：
.
注意到.
则.要使最小，则需使最大.
注意到，则由基本不等式取等条件可得，
要使最大，需满足.
则，此时，即三角形为等边三角形.
19. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：．
解：（1）由题可得4个两两垂直的4维信号向量可以为：
.
（2）证明：假设存在14个两两垂直14维信号向量，
任取其中两个不同向量，.
因，
则设与中，有个分量相同，则有个分向量不同.
因，则.
再取任意与和不同向量，
设在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反.
因，则.
由上可得在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反.
因，则
则此时，这显然不可能，则在14维信号向量中，找不到两两垂直的3个向量，即不存在14个两两垂直的14维信号向量；
（3）取个2024维信号向量后个分量组成的向量为：
，因两两内积为0，它们的前个分量都是相同的，
则两两内积为.又注意到.
则，
注意到展开式中，形如的项有个，
则.
由题可得，则.