山东省潍坊市2025届高三模拟预测数学试卷（解析版）

这是一份山东省潍坊市2025届高三模拟预测数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为.
所以复数对应点的坐标为：.
故选：A
2. 已知函数则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】将代入，得到，
所以，
将代入，得到.
因此，.
故选：B.
3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 12B. 14C. 42D. 84
【答案】C
【解析】因为数列为等差数列，所以，所以.
所以.
故选：C
4. 若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，所以，
则，所以的渐近线方程为.
故选：B.
5. 已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为与成正比例关系，所以可设，
由.
由，
又，所以.
故选：B
6. 若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则数据、、、、、、、的平均数和方差分别为（ ）
A. 、B. 、C. 、D. 、
【答案】A
【解析】因为一组样本数据、、、的平均数为，方差为，
则，可得，方差为，可得，
因此，数据、、、、、、、的平均数为
，
方差为
.
故选：A.
7. 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件，
则，
，
所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是.
故选：D.
8. 已知函数，则图象的对称轴方程为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】因，
，
所以为函数的一个周期，
当时，，
此时，作出函数的图象如图，
由图象可得，函数图象的对称轴方程为，.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，圆，则（ ）
A. 点在内
B. 点与上的点之间的最大距离为
C. 以点为中点的弦所在直线的方程为
D. 过点的直线被截得弦长的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以点在内，故A正确；
对于B，由，知点与上的点之间的最大距离为，故B错误；
对于C，由，可知弦所在直线斜率为，故弦所在直线为，
即，故C正确；
对于D，由圆的性质可知，当与过的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为，故D错误.
故选：AC
10. 已知圆台的高为2，其母线与底面所成的角为，下底面半径是上底面半径的2倍，则（ ）
A. 该圆台的上底面半径为2
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台外接球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）的表面积为
D. 用平面截该圆台，若所截图形为椭圆，则椭圆离心率取值范围为
【答案】BCD
【解析】如图：
设圆台上底半径为，则下底半径为，有题意，即圆台的上底面半径为，故A错误；
圆台的体积为：，故B正确；
因为母线，，所以为等边三角形，所以，所以该圆台外接球的球心就是下底面圆心，所以该圆台外接球半径为：，所以其外接球表面积为：，故C正确；
用平面截该圆台，若所截图形为椭圆，离心率最大时，截面可以是过，的截面，此时对椭圆：，因为圆台中截面半径为，所以椭圆中，所以，所以.
所以椭圆离心率的取值范围为：，故D正确.
故选：BCD
11. 设函数，数列满足，，则（ ）
A. B. 为定值
C. 数列为等比数列D.
【答案】ACD
【解析】由，，则，故A正确；
由，则显然非常数，故B错误；
由，又，则，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
则，即，
由，则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 写出一个同时具有下列性质①②的函数________．
①；②在上是增函数．
【答案】（答案不唯一，形如都可以）
【解析】对于函数，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足②；
对任意的、，，满足①.
故答案为：（答案不唯一，形如都可以）.
13. 已知集合，，若，则实数________．
【答案】或2
【解析】因为，所以.
根据集合中元素的互异性，可知且.
若，此时，，满足.
若或（舍去）.
此时，，满足.
综上或2.
故答案：或2
14. 已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________．
【答案】①. ②. 2
【解析】要使最小，需模长最大，且与夹角为，
故当同向，且反向时，，
可取得最小值；
设，即，又，，均为单位向量，
若共线，则首尾相连一条线段，则此时与共线，不符题意；
所以不共线，则首尾相连形成一个菱形，即，
因为，，
所以，则，
所以.
故答案为：，
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱台中，上、下底面分别为边长1，2的正方形，平面，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
（1）证明：连接，交于点，连接,.
由题意：，且，，为中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面.
（2）解：因为平面，所以平面，
又平面，所以.
又，，平面，
所以平面.
所以为直线与平面所成的角.
在中，.
16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，．
（1）求；
（2）若的面积为，是上的点，且，求的长．
解：（1）因为，所以，，即，
因为，则，即，故，
由余弦定理可得.
（2）因为，则，
因为，可得，
因为，，故，，，
是上的点，且，则，，
所以
在中，由正弦定理可得，
故.
17. 已知函数，．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，求的解集；
（3）若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系．
解：（1）由，，
令，得或，由于，则，
令，解得或，
所以的单调增区间为和.
（2）当时，，且，
又，即在上单调递增，
所以的解集为.
（3）设，，，且，，
曲线在点处切线斜率为，
两点连线斜率为
，
，
令，则，
令，，
则，令，
，即在上单调递减，
，即，
所以在上单调递减，故，
，又，即，
所以，即，
所以曲线在点处切线斜率小于两点连线斜率.
18. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．
（1）求的方程；
（2）证明：点在定直线上；
（3）延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值．
（1）解：由题意，设抛物线的标准方程为，则，可得，
故抛物线的标准方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
由题意可知，直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线、的方程得可得，所以，.
因此，点在定直线上.
（3）解：如下图所示：

易知点，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得可得，故点，则，
且，，
所以
，
因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，.
因此，四边形面积的最小值为.
19. 维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中．
（1）若，，且点，，写出所有的点的坐标；
（2）任取维空间中的不同两点．
（i）若，求的概率；
（ii）记随机变量，求的取值范围．
解：（1）由定义可知，。
即，且，
所以解得满足方程的B点坐标为：
（2）（i）（固定点P）：设点,
因为，
因为或1，或1，
所以中有两项等于0，两项等于1，
所以满足条件的所有可能情况有，
因两不同点所有可能情况共有种，
所以概率.
（ii）设随机变量,其中
因，
所以，
因为，
两边同时求导，得，
上式两边同乘,求导得
，
令，得，
所以，
因为，
所以单调递减，
因为，
所以.