山西省太原市某校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省太原市某校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
，
∴.
故选：B.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 已知函数的零点在区间内，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为，，
所以函数在区间内有零点，所以.
故选：C.
4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设函数在上，定义域关于原点对称，
又因为，
所以函数为奇函数，排除C选项，
当时，，排除D选项，
当时，，所以A不正确，B正确.
故选：B.
5. 中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（ ）
A. 128B. C. D. 192
【答案】D
【解析】因为的长为，的长为，，，
则，
如图，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为，
则，解得，
则扇环的面积.
故选：D.
6. 已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，
因为
所以，即.
故选：C.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，，
所以.
故选：D.
8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】因对于，，则，
故函数为周期函数，4是函数的一个周期，
又是上的奇函数，则，
故的图象关于点对称，
于是，，
在，取，得，
因，
则
.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】CD
【解析】对于A，由可得，所以，即，即A错误；
对于B，不妨取，，此时，即B错误；
对于C，由可得，所以，即，因此C正确；
对于D，由可得，又，所以，即D正确.
故选：CD.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 该图象向左平移个单位长度可得图象
C. 该图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来倍可得图象
D. 函数上单调递减
【答案】ABC
【解析】由图可知，由得，，
将点的坐标代入中，可得，
则，因为，所以，得，
对于A，将代入，得到，
故函数的图象关于点对称，故A正确；
对于B， 图象向左平移个单位，
则，故B正确；
对于C，对于，如果横坐标伸长到原来的2倍，则；
同时纵坐标缩短到原来的倍，得，故C正确；
D.由于，则，而在不单调
故函数在上不单调，故D错误.
故选：ABC.
11. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A. 点P第一次到达最高点需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D. 点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为
【答案】ACD
【解析】设点距离水面的高度为（米和（秒的函数解析式为
，，，
由题意，，，
，解得，
，，则．
当时，，，则，
又，则．
综上，，故D正确；
令，则，若，得秒，故A正确；
当秒时，米，故B不正确；
当秒时，，故C正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则＝______.
【答案】
【解析】因为为幂函数，所以，解得或1，
又的图象与坐标轴无公共点，故，故，
所以．
13. 函数的减区间是_______________.
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，即或，
设，则当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减．
∵函数在定义域上为单调递增函数，
∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，
即函数的递减区间为.
14. 若，，且 ，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】，即，，
则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
则的最小值为.
四、解答题（本题共5小题，共77分.）
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
解：（1）
.
（2）.
16. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）解关于的不等式
解：（1）根据题意，得方程的两个根为1和，
由根与系数的关系得，
解之得.
（2）由（1）得关于的不等式，
即，因式分解得．
①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为.
17. 已知.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值.
解：（1）
，
.
（2），
，
，
，
，
.
18. 已知函数 .
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数图象的对称中心；
（3）求函数在区间 上的最大值和最小值.
解：（1）函数
，
所以函数的最小正周期.
（2）由，解得，
所以函数图象的对称中心是.
（3）当时，，
则当，即时，；
当，即时，，
所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.
19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数.
（1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求不等式解集；
（3）当时，求的最大值.
解：（1）由，
可得
，
即 是定值，定值为1.
（2）易知的定义域为，
又，所以为奇函数，
由不等式可得，
又因是上的增函数，所以，所以，
所以不等式的解集为.
（3）令，因在上单调递增，故得，
又因为，，
则，，
①当时，函数在上单调递增，
故当时，取得最大值为；
②当时，函数在单调递减，
故当时，取得最大值为；
③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时取最大值；
综上可得：.