广西柳州市柳南区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）

这是一份广西柳州市柳南区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A.，正确；
B.与不是同类项，不能合并，故不正确；
C.，故不正确；
D.，故不正确；
故选：A.
3.如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂.这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A.垂线段最短
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.两点确定一条直线
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【解析】过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A.
4.二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位
得到的函数关系式是
故选：A.
5.如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A.608B.608C.64D.68
【答案】D
【解析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）.
故选：D.
6.一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ）
A.平均数B.中位数C.众数D.极差
【答案】B
【解析】∵一组数据，
∴平均数为：，中位数为，
众数为，极差为：，
去掉数据11为，
∴平均数为：，中位数为，
众数为，极差为：，
∴中位数发生变化，
故选：B.
7.如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是( )
A.16B.8C.4D.2
【答案】A
【解析】∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴CD=2PQ=4，
∴菱形ABCD的周长是4×4=16.
故选：A.
8.如图，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】，
，
一次函数图象与轴的正半轴相交，
①当时，
则二次函数的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线，
②当时，
则二次函数的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线，
故正确；
故选：D.
9.下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（ ）
A.它的对称轴是直线
B.它的图象有最低点
C.它的顶点坐标是
D.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
【答案】D
【解析】A、它的对称轴是直线，原说法正确，不符合题意；
B、由二次项系数大于0可知，函数开口向上，则它的图象有最低点，原说法正确，不符合题意；
C、它的顶点坐标是，原说法正确，不符合题意；
D、函数开口向上，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，原说法错误，符合题意；
故选：D.
10.若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A.3或5B.3C.4D.5
【答案】A
【解析】①当，即时，，
令，，
解得，
∴此时函数的图象与x轴只有一个交点，
②当时，
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，
解得.
综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5.
故选：A.
11.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【解析】∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴在x轴正半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当时，，
∵二次函数与x轴无交点，
∴，
∴点在第二象限，
∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C.
12.矩形中，.动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止.如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当时，，
此时函数的图象为抛物线的一部分，
它的最高点为抛物线的顶点，最低点为；
当时，点E停留在B点处，
故，此时函数的图象为直线的一部分，
它的最上点可以为，它的最下点为.
结合四个选项的图象知选A项.
故选：A.
二、填空题（共6小题）
13.若分式的值为0，则的值是 .
【答案】1
【解析】∵分式的值为0，
∴x−1＝0，2x≠0
解得：x＝1.
故答案为：1.
14.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 .
【答案】2
【解析】根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；
，解得：，
故答案为：.
15.规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为 .
【答案】，
【解析】由题意得：，
，
或，
解得：，.
故答案为：，.
16.某校九（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 .
【答案】
【解析】设全班有x名同学，则每人写份留言，共写份留言，
∴可列方程为.
故答案为：.
17.当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为 .
【答案】2或
【解析】二次函数的对称轴为直线，且开口向下，
①时，取得最大值，
∴，
解得，
∵，
∴；
②时，取得最大值，
，
解得，
综上所述，或时，二次函数有最大值.
故答案为：2或.
18.如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点.则的值为 .
【答案】
【解析】根据题意得：把代入；中，
得到，，
∴，
∴，
同理，把代入，中，
得到，，
∴，
∴，
…
代入；中
得到，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
三、解答题（共8小题）
19.解方程x2﹣4x+1=0.
解：移项得，x2﹣4x=﹣1，
配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2-.
20.先化简，再求值：，其中.
解：
，
当时，
原式.
21.已知：如图，在中，点分别在上，.
（1）请判断的位置关系，并说明理由；
（2）求证：.
（1）解：，
理由如下：
在中，，
，
，
.
；
（2）证明：在中，，
在和中，
.
22.育鹰中学是篮球特色学校该校元旦期间A，B两个校区举行定点投篮测试（每人2分钟内投篮10次﹐投中1次记1分）.测试结束后从A，B两个校区名随机抽取20名学生的测试成绩作为样本进行整理，部分信息如下：
A校区20名学生顶点投篮成绩
A，B两个校区抽取的学生定点投篮成绩的平均数，众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，______.
（2）该校A，B两个校区各有900名学生参加此项测试，规定6分及以上为合格，根据样本数据，估计该校A，B两个校区参加此项测试成绩合格的学生总人数.
（3）根据上述样本数据，你认为哪个校区学生定点投篮成绩较好？并请你写出两条理由.
解：（1）分的人数最多，故；
B校区中的数据第10个和第11个数据分别为，
∴；
；
（2）（人）；
（3）B校区学生定点投篮成绩较好，理由如下：
①B校区学生投篮成绩的中位数和众数高于A校区；
②B校区学生投篮成绩在8分及以上的人数多于A校区.
23.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0.
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值.
（1）证明：∵在方程中，
△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，
∴ ①、②.
∵③，
∴将①②代入③得，，
解得.
24.乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
（1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？
（2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
解：（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%.
（2）
（张）.
答：10月11日卖出2500000张电影票.
（或（张）.）
25.阅读与思考
下面是某课外书籍中的一篇文章（部分），请仔细阅读并完成相应的任务.
三角形点阵中前行的点数计算
如图是一个三角形点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点.

容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数之和，你能发现300是前多少行的点数之和吗?
如果用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，虽然能发现，得知300是前24行的点数之和，但是这样寻找答案需要花费较多的时间，是否有更简洁的方法呢?
我们先探究三角形点阵中前行的点数之和与的数量关系.
前行的点数之和是.可以发现：
.
把两个中括号中的第一项相加、第二项相加……第项相加，上式等号右边的式子变形为.这个小括号都等于，整个式子等于.于是得到.
所以三角形点阵中前行的点数之和为.
……
任务：
（1）请用一元二次方程解决问题“三角形点阵中300是前多少行的点数之和”；
（2）三角形点阵中前行的点数之和可能是600吗?如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由；
（3）如果把上述文章中三角形点阵图中各行的点数依次换为1，3，5，…，，请直接写出前行的点数之和满足的规律.（用含的代数式表示）
解：（1）设三角形点阵中300是前行的点数之和，
根据题意，得，
整理得，即，
解方程，得，（不合题意，舍去）
答：三角形点阵中300是前24行的点数之和；
（2）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600.
理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600，
根据题意，得，
整理得，
，
解方程，得，，
该方程没有正整数根，
所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600；
（3），
∴前行的点数之和为.
26.【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和.
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线.
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上.
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______.
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线.
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围.
解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图像上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上.
∴在上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或.投篮成绩/分
5
6
7
8
9
10
人数
2
3
6
3
4
2
校区
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
A
7.5
a
7
B
7.5
8
b
c
发布日期
10月8日
10月11日
10月12日
发布次数
第1次
第2次
第3次
票房
10亿元
12.1亿元