江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试卷（解析版）

这是一份江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试卷（解析版），共20页。
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共3题）、填空题（共3题）、解答题（共5题），满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置．
3．作答题目必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
2. 已知向量，且，则x的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】根据可得存在实数满足，即，
即可得，解得.
故选：D.
3. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）
A. 24种B. 10种C. 9种D. 15种
【答案】D
【解析】依题意可知，有两类衣服可选，
第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；
第二类：选择连衣裙，共有中选择；
所以共有种选择.
故选：D.
4. 已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】A
【解析】因为空间单位向量两两垂直,
所以，
所以
.故选：A.
5. 已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图：
取，，为基底，
则，，
所以.
又，.
所以.
故选：C.
6. 数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibnacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共6级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（ ）
A. 20B. 13C. 12D. 15
【答案】B
【解析】设级台阶的走法为，
则，（走法有每步上一级或一步二级，共2种走法），
当时，（可以从第级台阶跨一级到达第级，或从第级台阶跨二级到达第级）.
所以：，
，
，
.
故选：B.
7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在平行六面体中,
四边形是平行四边形,侧面是正方形,
又是的交点,
所以是的中点,
因为,,,
所以，
所以
，
所以
又，
所以
，
可得,，
所以异面直线与的夹角的余弦值为.
故选：A.
8. 已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】取中点为，因为，，
所以，
又，则，
又正方体棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，，
所以，
所以，
所以当，反向时，，有最小值为；
当，同向时，，有最大值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小愿，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知，则
C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种
D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
【答案】ACD
【解析】对A：由，且，解得，故A正确；
对B：由或解得或，故B错误；
对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确；
对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法，
故满足条件的排法有：种.故D正确.
故选：ACD.
10. 已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】随机事件A，B相互独立，，，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
11. 已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ）
A. 所有项的二项式系数和为128B. 所有项的系数和为1
C. 系数最大项为第4项D. 有理项共有4项
【答案】AD
【解析】因为的展开式共有8项，所以.
所以所有项的二项式系数和为，故A正确；
对B：令，可得所有项的系数和为，故B错误；
因为二项展开式的通项公式为：.
对C：设，
由，所以第3项的系数最大，故C错误；
对D：由为整数，且可得，的值可以为：，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 展开式中，x的一次项的系数为______．
【答案】4
【解析】因为的展开通项公式为，
所以的一次项的系数为.
13. 已知，，，若向量与垂直（O为坐标原点），则x等于______．
【答案】
【解析】，
，
向量与垂直，
，
．
14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______．
【答案】（答案不唯一，在内均可）
【解析】因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且，；
当A，B互斥时，，当事件B包含事件A时，；
所以可得，
即，
因此的一个可能的值为.（答案不唯一，在内均可）
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．
解：以，，为基底，则，.
又，
所以
，
所以，即，间的距离为3.
16. 某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递．
（1）求客户满意的概率；
（2）若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？
解：（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：.
所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：.
（2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件，
则客户满意且是甲运送的概率为：,
客户满意且是乙运送的概率为：,
客户满意且是丙运送的概率为：.
17. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．

（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值．
解：（1）因为平面，平面，所以；
又底面为菱形，所以；
又，平面，所以平面.
（2）如图：设，取的中点，连接，则，所以平面.
故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为为直线与平面所成的角，所以.
又,
所以O0,0,0，，，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，取.
又为平面的法向量，
设平面与平面所成的角为，
则.
18. 高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表：
若甲、乙都选概率为.
（1）求，的值；
（2）求甲、乙选择不同手机的概率；
（3）某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表：
记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列.
解：（1）由题表中数据及题意，得，所以，
又因为，所以；
（2）设甲、乙选择不同手机为事件，则；
（3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000，
则，，，，
所以的分布列为：
19. 的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列．
（1）求的值；
（2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：．
解：（1）因为，
令得：；
令得：.
两式相减得：.
（2）因为，
，
所以展开式中，的系数为：
又展开式中，，由，
所以的系数为：.
所以
.
华为
甲
乙
0
手机
华为
补贴金额（百元部）
3
5
4
700
800
900
1000