2025年浙江杭州市钱塘区中考数学二模试卷+答案

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1．（3 分）在有理数﹣1，0，﹣2，1 中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切负数；④两个负
数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，2＞1，
∴﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴有理数﹣2，1，﹣1，0 中，最小的数是﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
2．（3 分）截至 2025 年 3 月 15 日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破 150 亿元票房，登顶全球动画
电影票房榜．数据 150 亿用科学记数法表示为（ ）
A．15000000000 B．0.15×1011
C．1.5×1010 D．1.5×1011
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把
原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n
是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：150 亿＝15000000000＝1.5×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，
n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3．（3 分）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 5 个白球．从袋子中随机摸球，甲
认为：若摸出 1 个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出 3 个球，则至少有 1 个白球．以下判断
正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
【分析】根据可能性大小的定义解答即可．
【解答】解：∵有 2 个红球和 5 个白球，
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∴若摸出 1 个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出 3 个球，则至少有 1 个白球，故乙正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键．
4．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a+4a＝6a2
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的运算法则，即可判断答案．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，所以 A 选项错误，不符合题意；
B、计算正确，符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以 C 选项错误，不符合题意；
D、2a+4a＝6a，所以 D 选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，幂的运算，熟练掌握幂的运算法则及完全平方公式是
解题的关键．
5．（3 分）如图是由 8 个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，
所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图进行选择．
【解答】解：原几何体的主视图是：
故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题的关键．
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6．（3 分）点 A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数 y 的图象上，则 y1、y2、y3 的
大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】分别把 A、B、C 各点坐标代入反比例函数 y 求出 y1、y2、y3 的值，再比较大小即可．
【解答】解：∵点 A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数 y 的图象上，
∴y1 2，y2 6，y3 3，
∵﹣3＜2＜6，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式．
7．（3 分）如图，在△ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 D，E，
作直线 DE 与 BC 交于点 F，连结 AF．若 AB＝6，BC＝7，则△ABF 的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据尺规作图得到 DE 是线段 AC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到 AF＝CF，
再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：由尺规作图可知：DE 是线段 AC 的垂直平分线，
∴AF＝CF，
∵AB＝6，BC＝7，
∴△ABF＝AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝6+7＝13，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两
个端点的距离相等是解题的关键．
8．（3 分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
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C．顺次连结矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原
命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
9．（3 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，连结 AC 与 AE，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧 CE．若 AB
＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6π B．8π C．12π D．16π
【分析】作正六边形 ABCDEF 的外接圆⊙O，连接 OB 交 AC 于点 L，连接 OC、OE，求得∠BOC＝60°，
∠COE＝120°，则∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，由垂径定理得 OB⊥AC，AL＝CL，则∠ALB＝90°，
所以 BL AB＝2，求得 AL 2 ，则 AC＝2AL＝4 ，即可根据扇形的面积公式
求得 S 阴影＝8π，于是得到问题的答案．
【解答】解：作正六边形 ABCDEF 的外接圆，圆心为点 O，连接 OB 交 AC 于点 L，连接 OC、OE，
∵∠BOC 360°＝60°，∠COE 360°×2＝120°，
∴∠BAC ∠BOC＝30°，∠CAE ∠COE＝60°，
∵CB＝AB＝4，
∴ ，
∴OB⊥AC，AL＝CL，
∴∠ALB＝90°，
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∴BL AB＝2，
∴AL 2 ，
∴AC＝2AL＝4 ，
∴S 阴影 8π，
故选：B．
【点评】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中 30°角所对的直角边等
于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
10．（3 分）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数 的图象．现输入一组 m，n 的值，得到的函数
图象如图所示，由此可以推断输入的 m，n 的值满足（ ）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【分析】由两支曲线的分界线在 y 轴左侧可以判断 m 的正负，由 x＞0 时的函数图象判断 n 的正负．
【解答】解：∵ ，
∴x 的取值范围是 x≠﹣m，由图可知，两支曲线的分界线位于 y 轴的右侧，
∴m＜0，由图可知，当 x＞0 时的函数图象位于 x 轴的下方，
∴当 x＞0 时，y＜0，
又∵当 x＞0 时，（x+m）2＞0，
∴n＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数图象与点的坐标的关系是解题的关键．
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二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．
11．（3 分）﹣2025 的相反数是 2025 ．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2025 的相反数是 2025．
故答案为：2025．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
12．（3 分）当 x＝ 2 时，分式 的值为 0．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于 x 的不等式组，求出 x 的值即可．
【解答】解：∵分式的值为 0，
∴ ，解得 x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是分式的值为 0 的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解
题的关键．
13．（3 分）李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的
计算测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选 丁 同学．
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 90 93 98 98
方差 2 3.2 3.2 2
【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛．
【解答】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又丁的方差小于丙，
所以丁的成绩好且稳定，
故答案为：丁．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程
度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14．（3 分）如图，△ABC 与△DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，若 OA：OD＝2：3，则△ABC 与△
DEF 的面积比是 4：9 ．
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【分析】直接利用位似图形的性质得出△ABC 和△DEF 的面积比即可．
【解答】解：∵△ABC 与△DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，OA：OD＝2：3，
∴△ABC 与△DEF 的面积比为：4：9，
故答案为：4：9．
【点评】此题主要考查了位似变换，掌握相似三角形的性质是解题关键．
15．（3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，CD∥AB 交⊙O 于点 D，连结 AD．若∠B＝70°，则∠
CAD 的大小为 30° ．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC＝40°，根据圆内接四边形的性质求出
∠D＝110°，再根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝110°，
∵CD∥AB，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝70°，
∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，
故答案为：30°．
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，熟记圆内接四边形的性质、平行线的性质是
解题的关键．
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16．（3 分）如图，点 E 在菱形 ABCD 的边 CD 上，将△ADE 沿 AE 折叠，使点 D 的对应点 F 恰好落在边
BC 上．若 ，则 csB 的值是 ．
【分析】在 BC 的延长线上取一点 K，使得 EK＝EC，过点 E 作 EJ⊥CK 于点 J．设 DE＝5k，EC＝2k，
则 DE＝EF＝5k，EC＝EK＝2k，证明∠B＝∠K，求出 KJ（用 k 表示）即可．
【解答】解：在 BC 的延长线上取一点 K，使得 EK＝EC，过点 E 作 EJ⊥CK 于点 J．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠B＝∠D，
∵DE：CE＝5：2，
∴可以假设 DE＝5k，EC＝2k，则 DE＝EF＝5k，EC＝EK＝2k，
∴∠ECK＝∠K，
∵AB＝AF，
∴∠B＝∠AFB，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECK＝∠K，
由翻折变换的性质可知，∠D＝∠AFE＝∠B＝∠AFB，
∵∠EFK+2∠B＝180°，∠KEC+2∠B＝180°，
∴∠CEK＝∠EFK，
∵∠K＝∠K，
∴△KEC∽△KFE，
∴ ，
∴ ，
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∴KF＝5k，KC k，
∵EJ⊥CK，EC＝EK，
∴CJ＝KJ k，
∵∠B＝∠K，
∴csB＝csK ．
故答案为： ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关
键是学会利用参数解决问题．
三、解答题：本大题有 8 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8 分）计算：
（1）|﹣2|+（﹣1）3．
（2） ．
【分析】（1）利用绝对值的意义和有理数的乘方法则解答即可；
（2）利用负整数指数幂的意义和算术平方根的意义化简运算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1
＝1；
（2）原式＝5﹣2
＝3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和算术
平方根的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
18．（8 分）解下列方程（组）：
（1）x2﹣2x﹣3＝0．
（2） ．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0 或 x+1＝0，
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∴x1＝3，x2＝﹣1．
（2） ，
①+②得，4x＝4，
解得 x＝1，
把 x＝1 代入①得 1﹣2y＝3，
解得 y＝﹣1，
∴方程组的解为 ．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程以及二元一次方程组，掌握解一元二次方程和解方程组的方法
是解题的关键．
19．（8 分）为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（BMI）
来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 ．中国人的 BMI 数值标准为：BMI＜18.5 为
偏瘦；18.5≤BMI＜24 为正常；24≤BMI＜28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦
程度，从该年级随机抽取 10 名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的 BM 数值．
【收集数据】九年级 10 名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重（kg） 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高（m） 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
BMI 21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 x 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】九年级 10 名学生 BMI 频数分布表
组别 BMI 频数
A BMI＜18.5 0
B 18.5≤BMI＜24 a
C 24≤BMI＜28 b
D BMI≥28 1
【应用数据】
（1）求数据统计表中 x 的值，并直接写出 a，b 的值．
（2）请估计该校九年级 300 名学生中 BMI≥24 的人数．
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【分析】（1）根据计算公式可得 x 的值，根据表格可得 a，b 的值；
（2）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）由题意得：x 20，
∴由九年级 10 名学生 BMI 频数分布表得 a＝8，b＝1；
（2）300 60（人），
答：估计该校九年级 300 名学生中 BMI≥24 的人数为 60 人．
【点评】本题考查了频数分布表和用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
20．（10 分）已知二次函数 y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m），m 为实数．
（1）若 m＝1，求该函数图象的对称轴．
（2）若该函数图象与 y 轴交于点（0，n），求证：n≥﹣1．
（3）若点 A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）在该函数图象上，且 y1＜y2＜y3，求 m 的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式即可求解；
（2）x＝0 时，y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝m2+2m，则根据题意 n＝m2+2m＝（m+1）2﹣1，证得 n≥
﹣1．
（3）把 A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）代入解析式求得函数值，根据 y1＜y2＜y3，列出不等式
组，解得即可．
【解答】（1）解：若 m＝1，则二次函数为 y＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象的对称轴为直线 x＝2；
（2）证明：x＝0 时，y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝m2+2m，
∴抛物线与 y 轴交于点（0，m2+2m），
∵该函数图象与 y 轴交于点（0，n），
∴n＝m2+2m＝（m+1）2﹣1，
∴n≥﹣1．
（3）∵y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），
∴y1＝（2m﹣m）2﹣2（2m﹣m）＝m2﹣2m，
y2＝（﹣2﹣m）2﹣2（﹣2﹣m）＝m2﹣6m+8，
y2＝（6﹣m）2﹣2（6﹣m）＝m2﹣10m+24，
∵y1＜y2＜y3，
∴m2﹣2m＜m2﹣6m+8＜m2﹣10m+24，
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解得 m＜2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，图
象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
21．（12 分）已知△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，D 为圆上一点，DF 是⊙O 的切线，连结 CD，与
AB 交于点 E．
（1）如图 1，延长 BA 与 DF 交于点 F．
①若∠ACD＝25°，求∠F 的大小．
②若 AF＝3，DF＝5，求⊙O 的半径．
（2）如图 2，AC＞BC，DF∥AB，延长 CA 与 DF 交于点 F，若 ，求△BCE 与△CDF 的面积
比．
【分析】（1）①连接 OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
②利用切割线定理解答即可；
（2）过点 C 作 CH⊥FD，交 FD 的延长线于点 H，CH 交 AB 于点 G，连接 OD，利用矩形的判定与性
质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到 ，设 CG＝4k，则 CH＝9k，利用圆
周角定理和相似三角形的判定与性质求得线段 OE，BE，FD，最后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）①连接 OD，如图，
∵DF 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠FOD．
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∵∠FOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠FOD＝50°，
∴∠F＝40°．
②∵DF 是⊙O 的切线，
∴FD2＝FA•FB，
∴FB ，
∴AB＝FB﹣FA ，
∴⊙O 的半径 AB ；
（2）过点 C 作 CH⊥FD，交 FD 的延长线于点 H，CH 交 AB 于点 G，连接 OD，如图，
∵DF 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DF，
∵DF∥AB，CH⊥FD，
∴CG⊥AB，
∴四边形 ODHG 为矩形，
∴OD＝GH，OG＝DH，
∵ ，
∴ ．
∵DF∥AB，
∴△CAG∽△CFH，
∴ ，
设 CG＝4k，则 CH＝9k，
∴OD＝GH＝5k，
∴OA＝OB＝5k，AB＝2OD＝10k，
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∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CG⊥AB，
∴△CGB∽△ACG，
∴ ，
∴ ，
∴BG＝2k 或 8k，
∵AC＞BC，
∴BG＜AG，
∴BG＝2k，
∴AG＝8k，
∴OG＝OB﹣BG＝3k，
∵OD⊥DF，CG⊥AB，
∴OD∥CG，
∴△DOE∽△CGE，
∴ ，
∴ ，
∴OE k，
∴EG＝OG﹣OE k，AE＝OA+OE k．
∴BE＝EG+BG k．
∵DF∥AB，
∴△CAE∽△CFD，
∴ ，
∴FD＝15k．
∴△BCE 与△CDF 的面积比 ．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股
定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，连接经过切点的半径和添加适当的辅
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助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/1 13:39:50；用户：戴军；邮箱：17851573433；学号：54894628
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