河北省承德市八校2024届高考一模数学试卷（解析版）

这是一份河北省承德市八校2024届高考一模数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知为虚数单位，若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】2
故选：C
2. 某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知且，解得，，
则远地点离地面的距离为.
故选：A.

3. 若集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】集合，，若
则，即的取值范围是.
故选：D.
4. 不等式在R上恒成立的必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当不等式R上恒成立时，可得，解得．
选项A中，是不等式成立的充分不必要条件；
选项B中，是不等式成立的既不充分也不必要条件；
选项C中，是不等式成立的必要不充分条件；
选项D中，是不等式恒成立的充要条件．
故选：C．
5. 把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（ ）
A. 16B. 24C. 64D. 81
【答案】A
【解析】把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，
可分成两类情况：
①在4个不同的盒子中任取3个盒子，每个盒子中放一个，有种放法，
②把3个球分为两组，一组1个，一组2个，分别放到两个不同的盒子中，有种放法.
由分类加法计数原理：不同方法有：4+12=16种．
故选：A．
6. （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
，
故选：B
7. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则函数的定义域为，
则，
令，解得：或，
当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去；
当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去；
当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意.
故选：C.
8. 三人玩报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2022个数字为（ ）
A. 5982B. 5981C. 5980D. 以上都不对
【答案】A
【解析】由题意可得:A第n次报数的个数为3n-2,
则A第n次报完数后共报的个数为.
再代入正整数n,使得Tn≥2022,解得:n的最小值为37,得T37=2035.
而A第37次报时,3人总共报了36×3+1=109次,
当A第109次报完数3人总的报数个数为,即A报出的第2035个数字为5995,故A报出的第2022个数字为5995-(2035-2022)=5982.
故选:A.
二、多选题
9. 定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. 2是的一个周期
C. 是的一个对称中心D. 为偶函数
【答案】ACD
【解析】定义在上的奇函数满足，所以，故A正确；
且，所以，即周期是4，不是2，故B错误；
因为，所以的对称轴为，
又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确；
因，所以，即为偶函数，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A. 双曲线的离心率为2
B.
C. 双曲线的渐近线为
D. 点P到抛物线焦点的距离为6
【答案】CD
【解析】焦点坐标为，离心率，A正确；
的焦点坐标为，故，解得：，B正确；
双曲线渐近线方程为，C错误；
点在抛物线上，故点P点抛物线焦点的距离为，故D错误.
故选：CD
11. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，由，则需证，，，
显然不成立，故A错误；
对于B，令，，令，，
令，解得，可得下表：
则，即单调递增，
当时，，由，则，即，故B正确；
对于C，由B的证明过程，易知C正确；
对于D，由，则，
易知单调递增，无最大值，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12. 已知，则______，______．
【答案】①. 0 ②. 5
【解析】因为
令，可得，
，
二项式的展开式中含的项为，
代数式的展开式中含的项为，
所以的展开式中含的项为，
所以，则，
故答案为：0；5.
13. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以
所以，
又因为在上单调递增，
所以，
解得：，
故答案为：.
14. 如图在中，为斜边的中点，，，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】设，，则，，
，
，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
四、解答题
15. 已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
解：（1）由函数，
所以 ，
直线斜率，切点，则直线方程为.
（2）令，，得，
所以，列表
因此在区间上的最小值为，最大值为.
16. 大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：
并计算得，，．
（1）估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；
（2）求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到）；
（3）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值．
附：相关系数，，，．
解：（1）水库的平均水位，
号渗压计管内平均水位.
（2），
同理可得：，
，
（3），，
号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，
当时，预测值，
即水库的水位为时，号渗压计管内水位的估计值为.
17. 如图，在四面体PABC中，，，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.
（1）求证：平面BCP；
（2）求证：四边形DEFG为矩形；
（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q的位置（不需要论证）.
证明：（1）由题意，DE是 底边PC上的中位线， ，
平面BCP， 平面BCP， 平面BCP；
（2）由题意， ，同理 ，
，四边形DEFG是平行四边形，
同理，
，∴平行四边形DEFG是矩形；
（3）如图：
设PC的中点为J，AB的中点为 K，连接JG，EK，
则有： ， ，
∴四边形EKGJ是平行四边形，
连接JE，KG，则有: ，平行四边形EKGJ是矩形，
连接JK，DG，交点为O，则O是EG的中点，因此也是矩形DEFG对角线的交点，
是直角三角形，O是斜边EG中点，
，
即点O到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等，所以所求的Q点即是O点；
综上，到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等的点存在，就是矩形DEFG的对角线的交点O.
18. 已知等差数列中，，，数列满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）求数列的前n项和.
解：（1）设等差数列的公差为，由，，
所以，，
（）；
（2）由（1）得，
，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
（）.
19. 已知二次函数.
（1）若等式恒成立，其中，，为常数，求的值；
（2）证明：是方程有两个异号实根的充要条件；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.
解：法1：，
由得，
故.
法2：在中令得.
（2）证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根，设两根为，
∴，且，
∴.
充分性：由可推出，从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、，
则，由知：，即两根异号，
∴方程（a，b，c是常数且）有一正一负两实根.
因此是方程有两个异号实根的充要条件.
（3）若对任意，不等式恒成立，
整理得：恒成立，因为a不为0，
所以，所以，
所以，
令，因为，所以，
若时，此时，
若时，，
当且仅当时，即时，上式取得等号，
综上：的最大值为.

极小值
0
-
0
+
-3
极小值
样本号
总和
水库水位
渗压计管内水位