河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期开学测试数学试卷（解析版）

这是一份河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期开学测试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”的否定是，.
故选：B.
2. 已知集合，，则B可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
当时，或，故A错误；
当时，或，故B错误；
当时，，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：C.
3. 已知幂函数的图象经过第三象限，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】由题意得，得．当时，的图象不经过第三象限；
当时，的图象经过第三象限．综上，．
故选：A.
4. 若，，则（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】D
【解析】由，，得，，
所以．
故选：D.
5. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由不等式，化简得，
由余弦函数的性质得.
故选：C.
6. 某食品保鲜时间（单位：h）与储藏温度（单位：）满足函数关系．若该食品在的保鲜时间是320h，在的保鲜时间是80h，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A. 5hB. 5.5hC. 4hD. 4.5h
【答案】A
【解析】由题意得，两式相除得，
当时，.
故选：A.
7. 已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由奇偶性判断可知：
是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，
而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误；
再当时，可知，故A错误；
所以C正确.
故选：C.
8. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数，都是减函数，
所以；；
又，所以．
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（ ）
A. 分针转过的角的弧度为B. 分针转过的角的弧度为
C. 分针尖端所走过的弧长为D. 分针扫过的扇形面积为
【答案】BC
【解析】由题意得分针转过的角的弧度为，
所以分针尖端所走过的弧长为，分针扫过的扇形面积为．
故选：BC.
10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. 可能为空集B. 中可能只有一个元素
C. 若，则中的元素为负数D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意得，
则不可能为空集，A错误；
对于B，由，得，
当，即时，，得，则，B正确；
对于C，当，即时，，C正确．
对于D，当，即时，，
因为，所以，得，D正确．
故选：BCD.
11. 已知定义域为的函数满足，且.则（ ）
A. B.
C. D. 可能为增函数
【答案】ABD
【解析】因为，，
所以令，可得，故A正确；
再令，可得，
又因为，所以，
又令，可得，所以，故B正确；
不妨取，则，
，
此时满足原恒等式，但是当时，，故C错误；
但由于此时在上是增函数，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若角的终边经过点，则______．
【答案】
【解析】依题意，．
13. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数上单调递增，
依题意，，，
且在上单调递增，
因此，解得，
所以a的取值范围是.
14. 函数的最小值为______，此时______.
【答案】
【解析】由
，
所以可知当，即时，函数取到最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）．
（2）
．
16. 已知，，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
解：（1）由，得，当且仅当时，等号成立．
故的最大值是3．
（2）由，得，即．
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故的最小值为．
17. 已知函数（，且）．
（1）求的定义域；
（2）若，求；
（3）求不等式的解集．
解：（1）由题意得解得，即的定义域为．
（2）由，
得或，解得或．
（3）当时，，在上为增函数，
又在上为减函数，在上为减函数，
则是增函数，
由，得，
解得，即的解集为．
当时，在上为减函数，
又在上为减函数，所以在上为增函数，
可得是减函数，
由，得，
解得，即的解集为．
综上：当时，解集为，
当时，解集为.
18. 已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）求在上的值域；
（3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围．
解：（1）由，
得，
所以的单调递减区间为．
（2）由，得．
由正弦函数的图象可得，，
所以在上的值域为．
（3）由，得，
得或，
解得或，
则在上的3个零点为，，，
所以，
得，即的取值范围为．
19. 已知函数．
（1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由．
（2）若不等式的解集为，证明：．
（3）若函数在上的最小值为5，求的值．
解：（1）是奇函数．
理由如下：由题意得，．
的定义域为，且，所以是奇函数．
（2）证明：由题意得，则．
由，得．
设函数，，，在上的大致图象如图1所示，
由图可知，在上的图象有2个公共点，
易得这2个公共点的横坐标为．
由图得，因为，所以．
因为，所以．
故．
（3）设，由，得，则．
当，即时，在上单调递增，
则，解得（舍去）．
当，即时，
由题意得，的大致图象如图2所示，
易得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以在上的最小值为，
即在上的最小值为，解得（舍去）．
综上，或3．