河南省部分学校2024-2025学年高一下学期开年摸底大联考数学试题（解析版）

这是一份河南省部分学校2024-2025学年高一下学期开年摸底大联考数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
2. 已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，则，A对；
又在上单调递增，则，B对；
，
显然，，，，则，C错；
，则，D对.
故选：C.
3. 已知函数．则的值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】根据题意，函数，若，解可得，
将代入，可得.
故选：B．
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，即.
故选：C.
6. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. 0D. .3
【答案】C
【解析】因为，，
设，
则，解得.
故选：C．
7. 已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】D
【解析】函数的图象经过点，则，即，
又，
当且仅当时取等号，即时取等号.
故选：D.
8. 近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一，现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（ ）
A. 1秒B. 10秒C. 20秒D. 50秒
【答案】B
【解析】设生成这个文案需要的时间约为秒，则，
两边取对数得，所以秒.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 若是第三象限角，则在第三象限
C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
D. 若角的终边过点，则
【答案】AC
【解析】A：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，对；
B：由是第三象限角，则，
又，可得在第二象限，错；
C：设扇形的半径为，弧长为，则，可得或，
当，则圆心角的弧度数为；当，则圆心角的弧度数为（舍），
所以扇形的圆心角（正角）的弧度数为，对；
D：角的终边过点，则，
显然为正数或负数时，对应函数值符号不同，则，错.
故选：AC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B.
C. 无零点D. 在上单调递增
【答案】AB
【解析】由，且定义域为，
所以的图象关于直线对称，A对；
当时，在上单调递减，D错；
当时，在上单调递增，
又，B对；
显然，C错.
故选：AB.
11. 设函数的定义域为，使得成立，则称为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】函数的定义域为，使得成立，
所以的值域关于原点对称，即为“美丽函数”，
A：的值域为，不关于原点对称，不符合；
B：的值域为，关于原点对称，符合；
C：的值域为，不关于原点对称，不符合；
D：，则时值域为，时值域为，
所以函数的值域为，关于原点对称，符合.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则_________.
【答案】
【解析】若，则，
所以.
13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______．
【答案】
【解析】由题设，可得，
则或，
当，则奇函数，满足题设；
当，则为偶函数，不满足题设.
所以.
14. 已知函数，若函数有5个不同零点，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】根据可得如下函数草图，
令，结合以上函数图象，
时，有一个解；
或时，有两个解；
时，有三个解；
而有两个不同零点（）且，，
由共有5个零点，则有或，
当时，，且满足题设；
当时，，可得；
综上，实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围．
解：（1）由题意，上不等式恒成立，即，
由一次函数的区间单调性知，，故，
所以，可得.
（2）若为真命题，则在上能成立，即，
由二次函数的性质知，，故，
要使和中有且只有一个为真命题，结合（1）知：或.
16. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值．
解：（1），
由，则，结合正弦函数的性质，
时，在上单调递增，
时，在上单调递减，
所以的递增区间为.
（2）由题意，且，即，
所以，则，而，
所以.
17. 已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数的定义域为，且为奇函数，
所以，解得．
此时，所以为奇函数，
所以符合题意．
（2）是R上是单调递增函数.
证明：由题知，设，
则，
∵，∴，，
∴，即，
所以在R上是单调递增函数．
（3）因为是R上的奇函数且为严格增函数，
所以由，
可得，
即对一切恒成立．
令，，
设，所以，
即，解得．
18. 已知函数在区间上单调递减，且直线和为函数的图象的两条对称轴．
（1）求的一个解析式；
（2）将的图象先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题意，则，所以，
显然，则，可得，
所以是满足题设的一个解析式.
（2）根据（1）所得解析式，
图象先向右平移个单位长度有，
再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，则，
所以，
即，
故，
令，且，则，
所以，且，
综上，上恒成立，
由在上单调递减，则，
所以.
19. 已知函数（，且）．
（1）当时，求最大值；
（2）若对任意，均有，求的最大值；
（3）若对任意，均有，求的取值范围．
解：（1）由题设，令，则，
所以，当，即时，的最大值为.
（2）由题意，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
由，，
当且仅当时取等号，即最小值为4，
所以，故最大值为4.
（3）令且，均有，
对于开口向下，且对称轴为，
当时，则上恒成立，
若，即时，在上单调递减，
所以，，满足题设；
若，即时，显然，即，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以，，此时；
综上，时满足题设；
当时，则上恒成立，
显然，故在上单调递减，
所以，，此时；
综上所述，或.