河南省环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高一下学期阶段性考试（一）数学试卷（解析版）

这是一份河南省环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高一下学期阶段性考试（一）数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知角，那么的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】角，而，
所以的终边在第二象限.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则或；
若，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
3. 已知x是三角形的一个内角，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为单调递减，，，
所以，
故选：D.
4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A选项，的定义域为，故A不满足题意；
D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；
C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
5. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，，，所以.
故选：B.
6. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数图像的对称中心为，
B. 函数图像的一条对称轴方程是
C. 函数在区间上增函数
D. 函数的最小正周期是
【答案】D
【解析】对于A，当或时，即或是函数的对称中心，故错误，
对于B，正切型函数无对称轴，故错误，
对于C，当时，，正切函数在此区间不单调，故错误，
对于D，周期，故正确.
故选：D.
7. 已知（）在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，而在上单调递增，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数，则下列函数的图象关于中心对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数，定义域为，
则，故函数为奇函数，则关于原点对称，
因此函数为函数向右平移一个单位得到，
故函数关于对称，且函数关于点对称，
因此函数关于点对称.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知角和的终边关于x轴对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为角和的终边关于x轴对称，可得，．
对于A，由，A错误；
对于B，由，B正确；
对于C，由，C正确；
对于D，由，D错误．
故选：AC．
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，是偶函数
D. 方程在上有两个根，则
【答案】ACD
【解析】由图象知，最小正周期，得，
由的图象知，，由过点，得，
又，则，
当时，，
又的图象过点，则，解得，，
得，，又，故无解，即不符合题意；
当时，，
又的图象过点，则，即，，
于是，，而，则，
故，则A正确，B错误；
函数是偶函数，故C正确；
由图象知，函数在上递增，在上递减，
且，，，
则当方程在上有两个根时，，D正确．
故选：ACD.
11. 下列选项正确的是（ ）
A.
B. ，使
C. 若，则
D. 曲线与在有6个交点
【答案】ACD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，，则，
，因此不存在，使，B错误；
对于C，由，得，，
因此，C正确：
对于D，由，得，函数的最小正周期为，
在上单调递增，
在每一个单调区间内，直线与的图象只有1个交点，
，因此在时，
直线与的图象有5个交点，
当时，，当时，，
，此时直线与的图象有1个交点，
因此直线与的图象共有6个交点，
所以曲线与在有6个交点，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】若使函数有意义，需满足：，
解得.
13. 已知，则_________．
【答案】
【解析】.
14. 《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》．其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来．轻袖佛华妆，窈窕登高台、诗里的叠扇，就是折扇．折扇展开后可看作是半径为R的扇形，是圆面的一部分，如图所示．设某扇形的面积为，该扇形所在圆面的面积为，当与的比值为时，该扇面为“黄金美观扇面”．若某扇面为“黄金美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为_________．
【答案】
【解析】扇形所在圆面的面积为，
又，即
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由
，
得，所以.
（2）
16. 已知函数.
（1）用“五点法”作出在上的简图；
（2）写出的对称中心以及单调递增区间；
（3）求最大值以及取得最大值时的集合.
解：（1）由，得，
列表如下：
画出函数的图象，如图：
（2）由，得，
因此函数图象的对称中心为，
由，得，
所以函数的递增区间为．
（3）当，即时，，
所以函数的最大值为2，此时的集合为．
17. 已知函数（，），的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为．
（1）求的最小正周期及的值；
（2）若点R的坐标为，，求A的值．
解：（1）函数的最小正周期，
由为函数图象的最高点，得，，
解得，，而，所以.
（2）由Q为函数图象的最低点，，，得点Q的坐标为，，
又，则，过点Q作于点S，，
因此.
18. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P．过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与．
（1）若的面积为2，求的值；
（2）求的最小值．
解：（1）由题意得为锐角，故P在第一象限，则，在x，y轴正半轴上，
由题意可知，故，故，
，故，则，
由的面积为2，得，即．
所以，
又，故，
即，解得.
（2）由题意是锐角，则，，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为16．
19. 函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．
（1）判断函数（其中）的奇偶性，并加以证明；
（2）我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如
……
①请你用，，与表示和（不要求证明）．
②若，求证：．
解：（1）由于，定义域为，且，
因此为奇函散，
，定义域为，
且，
因此为偶函数，故奇函数.
（2）①，
，
②∵，，
∴，，
又，
，
故，
，
由于，
故．0
1
2
1
0
1