湖北省“黄鄂鄂”2025年高三下学期高考模拟联考数学试题（含答案）

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三、填空题答案:
12.48 13. 14.8π
四、解答题答案:
15.(1)证明：设P到底面ABCD的距离为h，
∴VP−ABCD=13S△ABCD⋅ℎ=83⋅ℎ=16 33⇒ℎ=2 3，
取CD中点O，连接PO，∵△PCD为等边三角形，且CD=4，∴PO=2 3=ℎ，
∴PO⊥平面ABCD （3分）
又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC，又∵BC⊥CD，PO∩CD=O，PO，CD⊂平面PCD
∴BC⊥平面PCD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD. （6分）
(2)如图建系.
则A(2,−2,0) ，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,−2,0)，P(0,0,2 3)，E(0,1, 3)
AB=(0,4,0)，AP=(−2,2,2 3). （8分）
设平面PAB的一个法向量n1=(x,y,z)∴AB⋅n1=0AP⋅n1=0⇒4y=0−2x+2y+2 3z=0，
取x= 3，得n1=( 3,0,1). （10分）
由（1）平面PBC⊥平面PCD 又DE⊥PC , 且PC=平面PBC∩平面PCD
故DE⊥平面PBC
所以平面PBC的一个法向量n2=DE=(0,3, 3)， （11分）
设平面PAB与平面PBC夹角为θ，∴csθ=|n1⋅n2||n1||n2|= 32×2 3=14 （13分）
（其他方法参照以上步骤给分）
16.解：（1） （7分）
（9分）
（10分）
0,f(x)单调递增 （13分）
故f(x)=f(e)=(e)lne=- （15分）
17.（1）由题意得 解得，
椭圆的标准方程为 （5分）
（2）令， 分析直线、、倾斜角的大小关系，得到,故有，故有。化简得到. （※） （10分）
设,,联立，有，于是有.又 （12分），，代入※式化简得，，
即可证过定点 （15分）
（用平移齐次化的方法参照以上步骤给分）
18.解：(1)由题意知，X=0，1，2，3．
P(X=0)=13×12×13=118，
P(X=1)=13×12×13+13×12×23+23×13×12=518，
P(X=3)=(23)3=827;
P(X=2)=1-P(X=0)−P(X=1)−P(X=3)=1027， （5分）
所以随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望为E(X)=0×118+1×518+2×1027+3×827=10354． （7分）
(2)由于投掷n次骰子后球不在乙手中的概率为1−pn，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有26=13的概率传给乙，
故有pn+1=13(1−pn)， （10分）
变形为pn+1−14=−13(pn−14).
又p1=13，所以数列{pn−14}是首项为p1−14=112，公比为−13的等比数列．
所以pn−14=112×(−13)n−1=−14×(−13)n
所以数列pn的通项公式pn=14−14×(−13)n； （12分）
(3)由(2)可得pn=14−14×(−13)n；
p1+p2++p2n=
所以 （17分）
(1)因为an=，且4=2+12−5，22+5−1=8，所以b4=a8=64. （3分）
因为5=2+12−4，22+4−1=7，所以b5=a7=49． （6分）
设数列an的前n项和为Sn，依题意得T（k+1)2=Tk2+2k+b(k+1)2=T3+T8−T3+T15−T8+⋯+Tk2+2k−Tk2−1+b(k+1)2， （8分）
又T3=b1+b2+b3=a3+a2+a1=S3，T8−T3=b4+b5+b6+b7+b8=a8+a7+a6+a5+a4=S8−S3，…， （9分）
依次递推:Tk2−1−Tk2−2k=bk2−2k+1+bk2−2k+2+⋯+bk2−2+bk2−1=ak2−1+ak2−2+⋯+ak2−2k+2+ak2−2k+1=Sk2−1−Sk2−2k， （10分）
所以T(k+1)2=S3+S8−S3+S15−S8+⋯+Sk2−1−Sk2−2k+ak2+4k+3=Sk2+2k+ak2+4k+3，即T(k+1)2=31−3k2+2k1−3+3k2+4k+3=3k2+4k+3+． （12分）
依题意得Tk2+k−Tk2+k−1=k2+kak2+k−k2+k−1ak2+k−1=bk2+k=ak2+k，
所以ak2+k=ak2+k−1，（14分）
Tk2+k+1−Tk2+k=k2+k+1ak2+k+1−k2+kak2+k=bk2+k+1=ak2+k−1，
所以ak2+k+1=ak2+k−1，…， （15分）
依次递推，总有ak2+k+i−1=ak2+k−i1≤i≤k+1和ak2+k+i=ak2+k−i1≤i≤k，
由此可知，
当k=1时，k2≤n≤k2+2k，an是常数列，
当k∈N∗，且k≥2时，k2−1≤n≤k2+2k，an是常数列.
又k2+2k=k+12−1， （16分）
所以对任意的n∈N∗，an是常数列．（17分）1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
C
C
A
D
B
B
A
ABC
ABD
BC
X
0
1
2
3
P
118
518
1027
827