2023粤湘鄂名校联盟高三上学期第一次联考数学试题含答案

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粤湘鄂名校联盟2023届第一次联考
数 学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合的元素，进行并集运算即可.
【详解】因为
，所以
故选：D.
2. 设,则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.
【详解】解：由题意知,
即，
故在复平面内对应的点位于第四象限，
故选D.
【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题.
3. 已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，得，两式相除可得，从而可得数列 为等比数列，首项为 ，公比为，进而可求出的值，可得答案
【详解】∵数列 满足，
时， 时， ，可得 .
，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 .
.
∵对任意 都有，则 的取值范围为
故选：D.
【点睛】此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题
4. 已知实数，设函数，，若对任意均有 ，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先通过特殊值法，由，得，再加以证明.当时，将转化为，再转化为开口向上且关于的一元二次函数，因为的对称轴为，定义域为，所以再转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行分类讨论.从而证明当时，恒成立，即可得到实数的取值范围.
【详解】由，得.
当时，等价于.
令，则.
设
则.
（）当时，，
则.
记，则
故












单调递减
极小值
单调递增
所以，.
因此，.
（）当时，.
令，
则，
故在上单调递增，所以.
由（）得，.
所以，.
因此.
由（）（）知对任意，
即任意均有.
综上所述，所求实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】思路点精：解决抽象函数含参数恒成立问题，但凭经验无法直接解题，该类型题的解题步骤如下：
1. 特殊化，在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目.该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论.例如本题由特殊值求的取值范围，即，得，再加以证明.当时，.
2. 盯住目标，把目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法.在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用.例如本题转化为开口向上且关于一元二次函数，因为的对称轴为，定义域为，所以在转化为轴动区间定求最值的问题进行分类讨论.
5. 已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. ，e） D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得，令，求导，然后分和来研究函数的取值大于零的情况.
【详解】由已知，得，
令，
则，可得，
（1）当时，，在上单调递增，
，成立；
（2）当时，令，则
令，则，
在上单调递增，
①当时，
在上单调递增，
在上单调递增，，成立；
②当时，，，
，
当，在上单调递减，
即在上单调递减，
此时有，在上单调递减，
，矛盾；
综上.
故选：D.
6. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D、E、F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则＝( )
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设P(x，y)，则C的纵坐标为y，写出OB方程，根据C在OB上可求C的横坐标，F的横坐标和C相同，纵坐标与B相同.由此可写出所有点的坐标.由可写出相似比，求得P的轨迹方程.根据几何关系，求出Q的横坐标即可根据抛物线焦半径公式求.
【详解】设，则，
∵，，∴，
∵FC∥y轴，∴，∴，∴，即，
∴P的轨迹方程为：，0≤x≤9，故A(1，0)为该抛物线的焦点.
设，则，
，解得，.
故选：A.

7. 中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可计算作答.
【详解】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，

在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.
故选：C
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8. 若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数满足且，，则（ ）
A. e B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据等差数列和等比数列的定义，可得，，即可求出；又，所以函数的最小正周期为4，由此根据题意即可求出，进而求出结果.
【详解】因为数列为等差数列，且，所以；
又为等比数列，且，所以，所以；
又，所以，
所以函数的最小正周期为4，
又，
所以 ，即.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列性质，同时考查了函数的周期性，属于基础题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】构造函数，求导，计算出其单调性即可判断.
【详解】构造函数 ， ，
当 时， ， 时， ， 时， ，
在处取最大值， ， ，
函数图像如下：


， ，A正确；B错误；
， ，
，C正确，D错误；
故选：AC.
10. 如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（ ）

A. 对于任意点，平面
B. 存在点，使平面
C. 直线的被球截得的弦长为
D. 过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.
【详解】
正方体内切球的球心即正方体的中心，且球半径，
当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；
当为的中点时，，，，则平面，因为平面，所以；同理，，因为，所以平面，即平面，B正确；
取的中点，由对称性可知，，则.
因为，，则，
所以直线的被球截得的弦长为，C错误；
设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.
因为，则，所以截面圆面积，D正确，
故选：BD.
11. 已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ）
A. 点（0，0）是函数f（x）的零点
B. ∈（1，3），使f（）>f（）
C. 函数f（x）的值域为[
D. 若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数的零点判断A，利用函数的单调性及最值判断选项BC；利用函数的单调性及函数的极值判断选项D.
【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；
对于选项B，当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，；
当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，．
综上可得，选项B正确．
对于选项C，，选项C正确．
结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；


所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，
则
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：




0


+
0

0
+

增
极大值
减
极小值
增
极大值，极小值；
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：

1

2




0
+

e
减
极小值
增
极小值．
综上可得，或，
解得的取值范围是，
故D错误．
故选：BC．
12. 已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（ ）
A. 是等差数列 B.
C. D. 存在使得
【答案】BC
【解析】
【分析】利用退位相减法可得数列的通项及即可判断A选项，按照给出的定义求出即可判断B选项，数学归纳法和累加法即可判断C、D选项.
【详解】当时，，
当时，由，得，故，即，
所以数列为等比数列，首项，公比，故，
A选项错误；
则，所以，

，B选项正确；
当时，，
假设当时，成立，
当时，由可得，则，，，，，将上式相加可得，又，则，故，即时也成立，
故，C选项正确；
D选项，当时，由知不成立，
当时，由C选项知：，则 ，，，，，上式相加得，又由上知，，则，可得，又由可得，，即，D选项错误；
故选：BC.
【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线过点，且与圆：相交于两点，设，若点在圆上，则直线的倾斜角为__________.
【答案】30°或150°
【解析】
【分析】由可以判断四边形为菱形，点在圆上，则，转化成点到直线的距离为，即可求出答案.
【详解】因为，，则四边形为菱形，所以.
设为垂足，因为点在圆上，则.
设直线的方程为，由，得，即，所以直线的倾斜角为30°或150°.
故答案为：30°或150°.
14. 公比为q的等比数列{}满足： ，记，则当q最小时，使成立的最小n值是___________
【答案】17
【解析】
【分析】根据题意，求出q，写出通项公式即可.
【详解】 是等比数列， ，
又∵ ， ，
设函数 ， ，当 时， ，
时， ，∴在x=1时， 取极小值1，
， ，由题意即q=e， ， ， ，
， ，
∴n的最小值是17.
故答案为：17.
15. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为_______；若方程在的解为、，则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可求得函数的解析式为，由计算得出的值，并求出的取值范围，由此可求得的值.
【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则，
当时，，
由题意可得，即，

令，得，可得函数的图象关于直线对称，
，所以，，且，
，
，
，，，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用二倍角的余弦公式、两角差的余弦公式，考查计算能力，属于中等题.
16. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由推导出，进而可得.
【详解】由，得，
由，得，
将代入，得，
有，
所以，则，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】第（1）问中，通过正弦定理即可求出角的大小.
第（2）问中，若选①，通过正弦定理得到，与已知矛盾.
若选②，通过正弦定理，求出，再通过余弦定理求出中线即可.
若选③，通过面积公式，求出，再通过余弦定理求出中线即可.
【小问1详解】
，由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
故答案为：
【小问2详解】
若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，，
则周长，解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：；
若选择③：由（1）可得，即，则，
解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
18. 已知数列，是的前项的和，且满足，数列是等差数列，，.
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前项和为，设，求的前项的和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，当时，，两式相减得到，又由时求得，求得数列的通项公式，在由，，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）可得，则，求得，结合裂项法，即可求解.
【详解】（1）由数列中，满足，
当时，，两式相减，可得，即，
当时，解得，所以数列是等比数列，
所以数列的通项公式为.
又由是等差数列，设等差数列的公差为，
因，，可得，
解得，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，则，
所以，
则，
即.
【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：
1、基本步骤：
裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
累加：将数列裂项后的各项相加；
消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.
2、消项的规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
19. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.

（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；

男
女
合计
网购迷

20

非网购迷
45


合计


100
（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：

网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.
附：观测值公式：
临界值表：

001
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3)
【解析】
【分析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意得，，计算，由，即可求解
【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，
后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.
设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，
所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.
所以补全的列联表如下：

男
女
合计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
合计
60
40
100
因为，查表得，
所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.
设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意，，.
所以，.
因为，则，所以的数学期望为.
【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算关键，是中档题
20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，

过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．

作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，

在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
21. 已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.

（1）求抛物线的方程；
（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
【答案】（1）
（2）32
【解析】
【分析】（1）设，列方程组，求出，即可得到抛物线的方程；

（2）设点，利用是以为斜边的等腰直角三角形，表示出，用坐标表示出利用基本不等式求出的最小值.
【小问1详解】
设点，由已知，则，即.
因为，则，所以抛物线的方程是.
【小问2详解】
设点，直线的斜率为，
因为，则直线的斜率为.
因为，则，得，①
因为，则，即，②
因为，则，即③
将②③代入①，得，即，则，
所以

因为，则，又，则，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.
22. 已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若方程有两实数解，求证：．（其中为自然对数的底数）．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接令，求导，再把导数构造成新函数，再次求导，确定单调性，进而确定单调性，即可求得最小值；
（2）先求导确定单调性，结合图像得，设直线与直线、交点的横坐标分别为、，再结合函数放缩得，最后构造函数证得即可得证.
【小问1详解】
易得，令，则，令，则，
令解得，令解得，∴在上单调递减，在上单调递增，
又∵时，，，，∴在上单调递减，在上单调递增，
∴；
【小问2详解】
易得，∵，当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，又∵时，，，画出草图如图所示：

不妨设，∴．由（1）知，，当且仅当时取等号，
令，，显然在单减，单增，故，即，
∴，当且仅当时取等号，设直线与直线、交点的横坐标分别为、，则，，


由图可知，∴①，令，
，又，可得当时，，即，
令，，则，即，即，又，则，
又，则，∴②
综合①②可得，．
【点睛】本题关键点在于先由单调性结合图像得，由以及结合函数图象得，最后构造函数证得即可得证.