湖北省十堰市2023届高三下学期四月调研考试数学试题（解析版）

这是一份湖北省十堰市2023届高三下学期四月调研考试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数得乘除法运算求出复数z，再根据虚部得定义即可得解.
【详解】解：，
所以复数的虚部为-2.
故选：A.
2. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的意义求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合集合间的关系即可求解.
【详解】因为，
，
所以．
故选：C.
3. 的展开式中的系数是（ ）．
A. B. C. －30D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】因为的展开式的通项公式，
令，可得的系数是．
故选：A.
4. 已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过分段函数进行求导，取得最小值，从而可得，当时，取得最小值，继而可求出结论.
【详解】由题可知解得．
故选：B.
5. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由的面积求出，为定值，的周长最小，需最小，即最小，此时MQ垂直于抛物线C的准线，求值即可.
【详解】
由题可知，的面积为，则．
则有,准线方程为，，
Q点到准线距离为，的周长最小，需最小，即最小，
所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为．
故选：B
6. 已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为π，，则四面体ABCD体积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的面积为π，得圆的半径为1，从而求得球O的半径，
从而可得出四面体ABCD体积的最大值.
【详解】因为圆的面积为π，所以圆的半径为1，，
则球O的半径，
则四面体ABCD体积的最大值为．
故选：B.
7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：．该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ）．
A. -2024B. 2024C. -1D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据，证得数列是首项为1，公比为-1的等比数列，通过运算从而可以求出结果.
【详解】因，
当时，所以
．
又，所以是首项为1，公比为-1的等比数列，
则，
故．
故选：C.
8. 若，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，构造函数，利用求导，讨论得知当时，单调递减；当时，单调递增．故，计算可比较大小,从而可得出结论.
【详解】令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故，
可得，当且仅当时，等号成立，
从而．
因为，所以，故．
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．
A.
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项.
【详解】因为
，故A不正确，B正确．
如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，
故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为，
由题意易得故，C不正确． ，D正确．
故选：BD
10. 已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（ ）．
A. B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减D. 是奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可.
【详解】因为点在的图象上，所以．又，所以．
因为图象的一个对称中心是，所以，则．
又，所以，则，A正确．
，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确．
当时，，单调递减，C正确．
，是奇函数，D正确．
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）．
A. 为奇函数
B. 为偶函数
C. ，当时，
D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A、B：根据奇偶性的定义分析判断；对于C：构建，利用导数判断单调性，分析判断；对于D：构建，利用导数求原函数的最值，分析判断.
【详解】对于A、B：因为的定义域为R，
且，，
所以为奇函数，为偶函数，
故A，B正确；
对于B：构建，则，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，故
即在上恒成立，则在上单调递增，
不妨令，则，即，
整理得，且，
则，C不正确；
对于D：构建，则，
当且仅当，即时等号成立，
故在上单调递增，则，D正确．
故选：ABD.
12. 椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．关于椭圆曲线W：，下列结论正确的有（ ）．
A. 曲线W关于直线对称
B. 曲线W关于直线对称
C. 曲线W上的点的横坐标的取值范围为
D. 曲线W上的点的横坐标的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】由特殊值结合对称性判断A；设点在曲线W上，证明点在曲线W上，从而判断B；，解不等式判断CD.
【详解】由，得．
对于A：因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确．
对于B：设点在曲线W上，则，
，
所以点在曲线W上，所以曲线W关于直线对称，B正确．
对于CD：由，得，解得或，C不正确，D正确．
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则________．
【答案】13
【解析】
【分析】由解出的值，利用模的坐标公式求.
【详解】已知向量，，
因为，所以，解得，
则，．
故答案为：13
14. 若直线l：与圆C：有两个公共点，则k的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】联立方程，结合判别式分析运算.
【详解】联立方程，消去y得，
由题意可得：，
故k的取值范围为．
故答案为：.
15. 已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及的周长可求得、，利用余弦定理可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】在双曲线中，，，则，
根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．
因为，的周长为，所以，
所以，．
在中，，
则，
所以，的面积为．
故答案为：；.
16. 甲、乙两位同学玩游戏：给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骸子，若朝上的点数为1，2，3，则，若朝上的点数为4，则，若朝上的点数为5，6，则．对实数重复上述操作，得到新的实数，若，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】列出如下树形图，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】列出如下树形图，可知甲获胜的概率为．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列的前n项之积为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，有，由等差数列的定义和通项公式可得；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可求解.
【小问1详解】
由题意得，，．
所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，
则．
当时，由，得，则，对也成立，
故．
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
所以数列的前n项和为
.
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求面积的最大值；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由同角的三角函数关系可得，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式计算即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理可得，解得，即可求解.
【小问1详解】
因，，所以，
，当且仅当时，等号成立，则．
故，即面积的最大值为．
【小问2详解】
由余弦定理，，，
得，即．
由，得，
整理得，
分解得，
解得，
故的周长为．
19. 现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．
（1）求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
（2）已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布，即可求解；
（2）当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.
【小问1详解】
由题可知，
甲盒子中有2个红球和2个黄球概率．
【小问2详解】
当时，X的取值可能是2，3，4，
且，，，
则．
当时，X的取值可能是0，1，2，
且，，，
则．
故．
20. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点．
（1）证明：．
（2）若，求直线CE与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）延长，并相交于点，证明，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值作答.
【小问1详解】
延长，并相交于点，因为，则，，
连接，，因为E为弧的中点，则，为正三角形，于是，
因为平面，，则有平面，
又平面，于是，而，
平面，因此平面，又平面，
所以．
【小问2详解】
以为坐标原点，为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，得，
令直线CE与平面所成角为，则，
直线CE与平面所成角的正弦值为．
21. 已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A点在x轴的上方），直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，且，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，利用两点求斜率公式求得，即可求解；
（2）根据题意设l的方程为()，，,联立方程组，利用韦达定理表示、，进而可得直线AP的方程，求出，同理可得，对化简计算，结合即可求解.
【小问1详解】
由题可知，．
当A为椭圆C的上顶点时，，解得，
故椭圆C的方程为．
【小问2详解】
依题意可设直线l的方程为，，，．
联立方程组消去x整理得，
则，．
直线AP的方程为，令，得．
同理可得，
则
.
因为，且，
所以，，又，
故．
22. 已知函数．
（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；
（2）当时，求证在上只有一个零点，且．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数单调性可得即在R上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解；
（2）由函数零点的存在性定理可得，使得,进而得出函数的单调性，结合、即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明.
【小问1详解】
因为，所以．
由在R上单调递减，得，即在R上恒成立．
令，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
故，解得，
即a的取值范围为．
【小问2详解】
由（1）可知，在上单调递减，且，，
故，使得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
因为，，所以在上只有一个零点，
故函数在上只有一个零点．
因为，所以要证，即证，即证．
因，得，
所以，故需证即可．
令，，则．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
故．即，
原不等式即证.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的.