上海市黄浦区2025届高三下学期4月二模数学试卷（Word版附解析）

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（完卷时间：120分钟 满分：150分）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共21道试题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1. 不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】解分式不等式即可得解.
【详解】不等式化为，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
2. 设，集合，，若，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由，，且，
所以.
故答案为：2.
3. 抛物线的焦点到其顶点的距离为________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，顶点为，
所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为.
故答案为：
4. 在△ABC中，若，，，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理得到方程，求出答案.
【详解】由正弦定理得，故，
即，解得.
故答案为：
5. 为虚数单位，若复数满足且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解.
【详解】设，则，由，得，解得，
即，由，得，所以.
故答案为：
6. 函数f(x)＝的最大值是___________.
【答案】
【解析】
详解】由.
7. 已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案.
【详解】设等比数列公比为，由，则，解得，
由，则，代入上式可得，
去分母可得，易知，
可得，分解因式可得，
易知，解得或，
当时，，则，单调递减，不合题意.
故答案为：.
8. 已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1，
由两圆有公共点，得，
，当且仅当时取等号，
当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点，
所以当取到最小值时，的值为1.
故答案为：1
9. 某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米）

【答案】
【解析】
【分析】设正方体的中心为，连接，得到平面，由三角形是正三角形，得到外接圆的半径为米，利用勾股定理求得米，设米，结合，即可得到对答案.
【详解】解：由正方体的棱长米，
因为平面平面，且平面，平面，平面，
如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面，
在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米，
又由勾股定理，可得米，
设米，因为点到平面的距离为2米，
所以米.
故答案为：.

10. 若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】利用质因数可得的所有正约数，从而可求概率.
【详解】因为，所以的正约数为共15个数，
其中完全平方数有共6个数，
所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为.
故答案为：.
11. 设为等差数列，其前项和为，若，则满足正整数________．
【答案】15
【解析】
【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值.
【详解】由，可得或，
当，可得，所以，
所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正，
又，，
所以，所以；
当，可得，所以，
所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负，
又，，
所以，所以；
综上所述：.
故答案为：.
12. 设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围.
【详解】由，则，又，
当，，此时无零点，
当，，此时无零点，
当，如下图，此时，而，
要使在区间上恰有4个根，则，则.

故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ）
A. 两种证券的收益有反向变动的倾向
B. 两种证券的收益有同向变动的倾向
C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
【答案】B
【解析】
【分析】根据正相关的定义可得出结论.
【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关，
那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误.
故选：B.
14. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断.
【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面，
对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是；
对于C，，与、共面，C不是；
对于D，，与、共面，D不是；
对于B，由，得，不共面，
假设与、共面，则存在，使得，
而，则，
整理得，从而，此方程组无解，
假设不成立，因此与、不共面，可以是.
故选：B
15. 设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（ ）
A.
B.
C.
D. 与的大小关系与、、、的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答.
【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：，
，即，
，
则
同理，
则
则
，
因为
所以，
因为，不能取等号，所以，所以
所以.
故选：A.
16. 给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分类讨论，确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即可求解.
【详解】当平面与四面体的一条棱的中点相交时，
不妨设平面过棱的中点，此时点到平面的距离相等，
且平面平面，如图（1）所示
此时到平面的距离可能与到平面的距离相同，此时有1不同的值；
不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时，
如图（2）所示，此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等，
且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值；
不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时，
如图（3）所示，此时点到平面的距离相等，
其中到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值；
不妨设平面过棱的中点，过的靠近的三等分点，过靠近点的三等分点，此时到平面的距离不同，到平面的距离不同，
且到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值；
又因为四个点均不在平面上，也不在平面的同侧，
所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧），
所以的所有不同值的个数组成的集合为.
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知．
（1）若，求的值；
（2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在实数，使函数是奇函数.
【解析】
【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解.
（2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可.
【小问1详解】
由题意，，
令，则有，即，得，解得或（舍去），
所以，则.
【小问2详解】
假设存在实数，使函数是奇函数，
则时，，解得.
时，函数，定义域为.
设函数.
对任意，，故函数为奇函数.
综上，存在实数，使函数是奇函数.
18. 在四面体中，，．
（1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积；
（2）若，，求二面角的大小．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知可得，结合为正三角形求其面积，若为的中点，再由面面垂直的性质证明平面，且，应用棱锥的体积公式求体积；
（2）由题设得二面角的平面角为，再应用余弦定理求二面角大小.
【小问1详解】
由题设为等腰直角三角形，且，，
所以，又为正三角形，故，
若为的中点，连接，则，又平面平面，
平面平面，平面，故平面，
所以是的高，则其体积；
【小问2详解】
由（1）且，，
又，则，且，又，
所以二面角的平面角为，且.
所以二面角大小为.
19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球．
（1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立；
（2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？
【答案】（1），不独立；
（2）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小.
【解析】
分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可.
（2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值.
【小问1详解】
当时，盒中有6个白球，14个黑球，，，
，
，则，所以事件与相互不独立.
【小问2详解】
从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率，
设，当时，，
，当时，，
当时，，因此，
而，则，
所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小.
20. 椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点．
（1）若，点的坐标为，求点到直线的距离；
（2）当时，求满足的点的个数；
（3）设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解.
（2）求出以线段为直径圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可.
（3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解.
【小问1详解】
依题意，，而，则直线的方程为，
即，所以点到直线的距离.
【小问2详解】
由，得点在以线段为直径的圆上，，
由消去得，即，
当时，，，因此点，共2个；
当时，，解得，，
因此点，共4个，
所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4.
【小问3详解】
设，由，且在线段上，得，
则，解得，而，
由点在上，得，即，
整理得，即，由，得，解得，
所以的取值范围是.
21. 设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界．
（1）设，，判断函数，是否具有性质；
（2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界；
（3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围．
【答案】（1）不具有，理由见解析；
（2）；
（3），.
【解析】
【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断.
（2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解.
（3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可.
【小问1详解】
函数，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，上单调递减，
于是函数在上不是单调函数，，，
函数在上的值域为，
不存在常数，使得对任意的成立，
所以函数，不具有性质H.
【小问2详解】
函数，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得，
当时，函数在上不单调，，，
由，即，整理得，解得或，
当时，，当时，，
因此，，则，
所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界.
【小问3详解】
当时，函数，
求导得，
当时，，，函数在上单调递增，不符合题意；
当时，，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数，
，，因此，
令，则，令，
求导得，
函数在上单调递减，，
由当变化时，总是该函数的下界，得，