贵州省遵义市播州区2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试卷（解析版）

这是一份贵州省遵义市播州区2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 已知集合，则集合中的元素个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由，
由，
故，故中的元素个数是4.
故选：C.
3. 某校为了丰富学生的课余生活，组织了篮球比赛．已知该校高二（1）班篮球队员甲每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲每场比赛得分的分位数是（ ）
A. 23B. 24C. 28D. 31
【答案】C
【解析】由茎叶图可知：共有16个数据，则，
故得分的分位数为第12和第13个数据的平均数，即.
故选：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，
则．
取，，满足，但不满足．
则由可得，由得不到，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，但，故A错误；
，但，故B错误；
因为，所以，所以，又，所以，
所以，故C正确；
，但，故D错误.
故选：C.
6. 已知函数，且，则m取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，，
函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增，
不等式，
则，即，解得或，
所以m的取值范围是.
故选：A.
7. 某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）
（参考数据：）
A. 4B. 5C. 7D. 8
【答案】B
【解析】由题意可得，即，
两边同时取以10为底的对数，则有，
所以，
解得，因为，所以.
故选：B.
8. 已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
取的中点，连接，则，于是，
因此，
所以与的面积的比值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量B. 单位向量是相等向量
C. 零向量与任意向量平行D. 向量的模可以比较大小
【答案】ACD
【解析】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确，
对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误，
对于C， 零向量与任意向量平行，C正确，
对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确.
故选：ACD.
10. 依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（ ）
A. A与CB. A与DC. B与CD. B与D
【答案】ABC
【解析】掷两个质地均匀的骰子的样本空间：
，共36个样本点，
，共18个样本点，
，共24个样本点，
，共10个样本点，
，共9个样本点，
，
对于A，，，A是；
对于B，，
，D是；
对于C，，，C是；
对于D，，
，D不是.
故选：ABC.
11. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，由，则，等号成立条件为，故A错误；
对于B，由，得，又，得，故B正确；
对于C，由，则，
则，
等号成立条件为，故C正确；
对于D，由B项知，，则，
等号成立条件为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某科研所有名研究人员，其中男研究员人数与女研究员人数之比为．现从该研究所所有研究人员中按性别采用分层抽样的方法抽取120名研究人员进行调查，则被抽取到的女研究员人数是_______．
【答案】45
【解析】由题：抽取的女研究员人数为（人）.
13. 如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是_______．
【答案】
【解析】设扇形的圆心角，，则，
由扇形面积公式可知，，
所以，
所以.
14. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时，_______．
【答案】
【解析】令，则可得，
因为函数是定义在R上的偶函数，所以，
又因为，所以，所以，
所以为函数的周期，
当时，，
由题意可得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
解：（1）因为，可得，
所以.
（2）.
（3）.
16. 其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率；
（2）若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差．
解：（1）由图可知，，解得，
则在内的样本容量为，将这2个样本分别记为，
在内的样本容量为，将这4个样本分别记为．
从中随机地选取2个，可知样本空间
，
共有15个样本点．
用事件表示“这2个样本的得分在同一组”，
则，有7个样本点，
则，即这2个样本得分在同一组的概率为．
（2）由图可知，在内的样本数与在内的样本数之比为，
所以在内的样本得分的平均数分，
方差.
17. 已知函数（，且），且．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明你的结论；
（3）若不等式恒成立，求t的取值范围．
解：（1）函数中，由，得，而，
所以.
（2）由（1）知，
函数的定义域为R，
，
所以是R上的奇函数.
（3）函数都是R上的增函数，则是R上的增函数，
不等式，
因此，即，则，
解，得或；
解，即，得.
于是，所以t的取值范围是.
18. 如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上．
（1）若是线段的中点，且，求；
（2）若是线段的中点，且，求梯形的面积；
（3）若，且，求的值．
解：（1）若是线段的中点，由题意可知，
，
，
所以.
如下图所示：过作于，过作于，
因为是等腰梯形，，可知，
在直角中，因为，所以，，
所以，
所以，
所以.
（2）若是线段的中点，由（1）可知，，
在直角中，因为，即，
所以，
因为，所以，
即，
解得，.
在直角中，由勾股定理可得，
所以梯形的面积.
（3）由（1）可知，在直角中，
因为，，所以，
所以，
设，
所以，
又由（1）知，
所以，
所以，
因为，所以，
整理得，解得或（舍），
所以
19. 某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．
（1）已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；
（2）求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．
解：（1）记甲两次抽到相同奖品为事件，
记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件，
则，
，
所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为.
（2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次.
又获得的奖品价值总和不低于80元，
故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元，
又两次抽到40元，一次抽到30元的概率，
两次抽到40元，一次抽到20元的概率，
两次抽到40元，一次抽到10元的概率，
两次抽到30元，一次抽到40元的概率，
两次抽到30元，一次抽到20元的概率，
两次抽到20元，一次抽到40元概率，
所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为：
.0
1
2
3
7 8
2 2 4 5 7 9
0 3 5 5
1 3 7 7