2024年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={−1,1,2,4}，则A∩B=( )
A. {1,2,3}B. {1,2}C. {2,3}D. {−1,1,2}
2.已知a∈R，若z=a+i2i−1为纯虚数，则a=( )
A. 2B. 2C. 1D. 12
3.已知f(x)=x3+2x2,x≥0x3+ax2,x<0为奇函数，则a=( )
A. −2B. 2C. 1D. −1
4.某饮料厂生产A，B两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为40%，60%，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为20%，80%，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为( )
A. 0.12B. 0.20C. 0.44D. 0.32
5.已知数列{an}为等比数列，m，t，p，q均为正整数，设甲：amat=apaq；乙：m+t=p+q，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
6.若函数f(x)=x−4x−alnx单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−4]C. [−4,4]D. (−∞,4]
7.已知cs(α+π6)=14，则sin(2α−π6)=( )
A. −78B. 78C. 716D. −716
8.已知A为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点，O为坐标原点，B，C为双曲线E上两点，且AB+AC=2AO，直线AB，AC的斜率分别为2和14，则双曲线E的离心率为( )
A. 2B. 52C. 62D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C1：(x−3)2+y2=1,C2：x2+(y−a)2=16，则下列结论正确的有( )
A. 若圆C1和圆C2外离，则a>4
B. 若圆C1和圆C2外切，则a=±4
C. 当a=0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D. 当a=−2时，圆C1和圆C2相交
10.已知函数f(x)=cs2x+acsx+2，则下列说法正确的有( )
A. 当a=0时，f(x)的最小正周期为π
B. 当a=1时，f(x)的最小值为78
C. 当a=3时，f(x)在区间[0,2π]上有4个零点
D. 若f(x)在(0,π3)上单调递减，则a≥2
11.已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4.设E为空间内任一点，且A，B，C，D，E五点在同一个球面上，则( )
A. AB⊥CD
B. 四面体ABCD的体积为2 14
C. 当AE=2 3时，点E的轨迹长度为4π
D. 当三棱锥E−ABC的体积为 146时，点E的轨迹长度为3 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有______种(用数字作答)．
13.已知P为椭圆C：x29+y23=1上的一个动点，过P作圆M：(x−1)2+y2=2的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为______．
14.若直线y=2x为曲线y=eax+b的一条切线，则ab的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短、质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照[5.75,6.25)，[6.25,6.75)，[6.75,7.25)，[7.25,7.75)，[7.75,8.25)，[8.25,8.75]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求a的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=π4,4bcsC= 2c+2a．
(1)求tanC；
(2)若△ABC的面积为32，求BC边上的中线长．
17.(本小题15分)
如图1，在平面四边形PABC中，PA⊥AB，CD/​/AB，CD=2AB=2PD=2AD=4.点E是线段PC上靠近P端的三等分点，将△PDC沿CD折成四棱锥P−ABCD，且AP=2 2，连接PA，PB，BD，如图2．

(1)在图2中，证明：PA//平面BDE；
(2)求图2中，直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，点F(0,1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记P的轨迹为Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)设M为直线y=−1上的动点，过M的直线与Γ相切于点A，过A作直线MA的垂线交Γ于点B，求△MAB面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+2ax+1．
(1)设函数g(x)=x+1x⋅f(x)−lnxx，讨论g(x)的单调性；
(2)设x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点，证明：|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由x2−4x+3=(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤3，
所以A={x|1≤x≤3}，
所以A∩B={1,2}．
故选：B．
解不等式求得集合A，进而求得A∩B．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=a+i2i−1=(a+i)(2i+1)(2i−1)(2i+1)=a−2+(2a+1)i−5，
若z为纯虚数，则a−2=0，即a=2．
故选：B．
借助复数运算法则计算后结合纯虚数定义即可得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，当x<0时，−x>0，
所以f(x)=−f(−x)=−[(−x)3+2(−x)2]=x3−2x2，
通过对比系数得a=−2．
故选：A．
根据题意，根据函数的奇偶性求函数f(x)在区间(−∞,0)上的解析式，对比系数求得a，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，选到非碳酸饮料的概率为40%×(1−20%)+60%×(1−80%)=0.44．
故选：C．
由全概率公式计算即可得．
本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设数列{an}的公比为q，首项为a1，
若m+t=p+q，则a12qm+t−2=a12qp+q−2，即amat=apaq，满足必要性；
当q=1时，对任意正整数m，t，p，q均有amat=apaq，不满足充分性，
所以甲是乙的必要不充分条件．
故选：B．
根据m+t=p+q可以得到amat=apaq，当q=1时均有amat=apaq，得到答案．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：依题意f′(x)=1+4x2−ax=x2−ax+4x2≥0，即x2−ax+4≥0对任意x>0恒成立，
即a≤4x+x恒成立，因为4x+x≥2 x×4x=4(当且仅当x=2时取“=”)，所以a≤4，
所以a的取值范围为(−∞,4]．
故选：D．
由f′(x)≥0恒成立分离常数a，利用基本不等式求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】由题意，利用诱导公式、二倍角的余弦公式，化简要求的式子，可得结果．
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式，属于基础题．
【解答】
解：∵cs(α+π6)=14，
可得sin(2α−π6)=−cs[π2+(2α−π6)]=−cs(2α+π3)=1−2cs2(α+π6)=1−2×116=78，
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：A(a,0)，设B(x0,y0)，C(−x0,−y0)，则x02a2−y02b2=1，
则kAB=y0x0−a=2,kAC=y0x0+a=14，
kAB⋅kAC=y02x02−a2=b2(x02a2−1)x02−a2=b2a2=14×2=12，
∴e=ca= c2a2= a2+b2a2= 1+(ba)2= 1+12= 62．
故选：C．
先判断出B，C两点关于原点对称，设出B，C的坐标，根据AB+AC=2AO，可知O是BC中点，B，C两点关于原点对称，根据直线AB，AC的斜率列方程，求得b2a2，进而求得双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：C1(3,0),C2(0,a),|C1C2|= 9+a2,r1=1,r2=4．
若C1和C2外离，则|C1C2|= 9+a2>r1+r2=5，解得a>4或a<−4，故A错误；
若C1和C2外切，|C1C2|= 9+a2=5，解得a=±4，故B正确；
当a=0时，|C1C2|=3=r2−r1，C1和C2内切，故C正确；
当a=−2时，3<|C1C2|= 13<5,C1和C2相交，故D正确．
故选：BCD．
根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．
10.【答案】AB
【解析】解：当a=0时，f(x)=cs2x+2，最小正周期为π，A选项正确；
当a=1时，f(x)=cs2x+csx+2=2cs2x+csx+1=2(csx+14)2+78≥78，
所以f(x)的最小值为78，B选项正确；
当a=3时，f(x)=cs2x+3csx+2=2cs2x+3csx+1=(2csx+1)(csx+1)，
令f(x)=0，解得csx=−12或csx=−1，当0≤x≤2π时，x=2π3或x=4π3或x=π，
即f(x)在区间[0,2π]上有3个零点，C选项错误；
f(x)=cs2x+acsx+2=2cs2x+acsx+1，设t=csx，
因为y=csx在(0,π3)上单调递减，则t∈(12,1)，
根据复合函数的单调性可知，g(t)=2t2+at+1在(12,1)上单调递增，
所以−a4≤12，解得a≥−2，D选项错误．
故选：AB．
根据三角函数的周期性、含csx的二次项函数的值域、三角函数的零点、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了余弦函数的性质，二次函数的性质及函数单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，依题意，可知DA=CB=DB=AC=4，DC=AB=2，
设F为AB的中点，连接CF，DF，则CF⊥AB，DF⊥AB，
而CF∩DF=F，CF，DF⊂平面CFD，故AB⊥平面CFD，
CD⊂平面CFD，故AB⊥CD，A正确；
对于B，将四面体ABCD放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为x，y，z，
则x2+y2=4，x2+z2=16，y2+z2=16，解得x=y= 2,z= 14，
由于z= 14，即异面直线AB和CD的距离为 14，且AB⊥平面CFD，
所以四面体ABCD的体积为13S△DCF⋅AB=13×12×2× 14×2=2 143，B错误；
对于C，由以上分析可知，四面体ABCD的外接球半径为 x2+y2+z22=3 22，
由AE=2 3，知点E的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为r，
则r2+( 92−r2+3 22)2=(2 3)2，解得r=2，
所以E的轨迹长度为2πr=4π，C正确；
对于D，由题意可得CF= 42−1= 15，所以sin∠ABC= 154，
故△ABC的外接圆半径为12×4 154=8 15，
所以球心到△ABC所在平面的距离为 (3 22)2−(8 15)2= 7 30，
设三棱锥E−ABC的高为h，
由三棱锥E−ABC的体积为 146时，可得12S△ABC⋅h=13×12×2× 42−1×h= 146，所以h= 7 30，
又由32 2>2 7 30，所以E点轨迹为外接球上平行于平面ABC且到平面ABC的距离为 7 30的两个截面圆，
其中一个圆为外接球的大圆，所以点E的轨迹长度大于2π×3 22=3 2π，D错误，
故选：AC．
根据线面的垂直可判断线线垂直，可判断选项A；
根据棱锥的体积公式计算可判断选项B；
根据条件，确定轨迹的形状，结合圆的周长求得轨迹长度或范围，即可判断选项C，D．
本题考查了四面体中的线面以及线线的位置关系，以及体积和空间几何体中的轨迹问题，难点是要发挥空间想象，明确空间几何体中的线线位置关系，特别是选项D中要明确E点轨迹，从而确定轨迹长度或其范围．
12.【答案】105
【解析】解：由题意可得恰有两名女生人选的选法有C52×C42=60种，
恰有3名女生人选的选法有C53×C41=40种，
恰有4名女生人选的选法有C54×C40=5种，
所以至少有两名女生人选的选法有60+40+5=105种．
故答案为：105．
分别求出恰有两名女生人选、恰有3名女生人选、恰有4名女生人选的选法种数，根据分类加法计数原理，即可求得答案．
本题考查了排列组合的问题，属于基础题．
13.【答案】2 105
【解析】解：设P(x,y)，∠MAB=θ，
根据题意可知MA⊥AP，且AB⊥PM，
所以∠PAB+∠MAB=π2,∠MPA+∠PAB=π2，
则|AB|=2 2csθ，∠MPA=∠MAB=θ，且sinθ= 2|PM|，
因为|PM|= (x−1)2+y2= (x−1)2+3−x23= 23(x−32)2+52，
又−3≤x≤3，所以当x=32时，|PM|取得最小值 102，
所以sinθ= 2|PM|≤2 5，又θ∈(0,π2)，
所以csθ= 1−sin2θ≥1 5= 55，
所以|AB|=2 2csθ≥2 2× 55=2 105．
所以|AB|的最小值为2 105．
故答案为：2 105．
设P(x,y)，∠MAB=θ，解三角形可得|AB|=2 2csθ，sinθ= 2|PM|，利用两点距离公式求|PM|的最小值，结合平方关系可求|AB|的最小值．
本题考查椭圆的几何性质，圆的几何性质，属中档题．
14.【答案】2e2
【解析】解：设f(x)=eax+b，则f′(x)=aeax+b，
设切点为(x0,eax0+b)，则f′(x0)=aeax0+b，
则切线方程为y−eax0+b=aeax0+b(x−x0)，整理可得y=aeax0+bx+(1−ax0)eax0+b，
所以(1−ax0)eax0+b=0aeax0+b=2，解得x0=1a,aeax0+b=ae1+b=2，
所以a=2e1+b，所以ab=2be1+b，
设g(x)=2xe1+x，则g′(x)=2(1−x)e1+x，
当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=1时，g(x)取得最大值g(1)=2e2，
所以ab的最大值为2e2．
设f(x)=eax+b，切点为(x0,eax0+b)，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出a，b的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可．
本题主要考查用导函数解决曲线上的切线问题，属于中档题．
15.【答案】解：(1)(0.06+0.08+a+0.34+0.56+0.72)×0.5=1，解得a=0.24，
依题意，该校学生每一天的平均睡眠时长为：
6×4+6.5×12+7×28+7.5×36+8×17+3×8.5100=7.295(小时)；
(2)100名学生的睡眠充足的频率为17+3100=0.2，
以频率代替概率，样本估计总体，该校学生睡眠充足的概率为0.2，
所以至少有两人睡眠时长充足的概率为P=C32×(0.2)2×(1−0.2)+0．23=0.104．
【解析】(1)根据频率之和为1求得a，根据平均数的求法求得平均数．
(2)根据独立重复事件概率计算公式求得所求概率．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由正弦定理可得csinC=bsinB，
所以4sinBcsC= 2sinC+2sinA，
即2 2csC= 2sinC+2sinA，
又A+B+C=π，
所以2 2csC= 2sinC+2sin(π4+C)=2 2sinC+ 2csC，
整理得 2csC=2 2sinC，
解得tanC=12；
(2)依题意可得12acsinB=12ac× 22=32，
解得ac=3 2，
又tanA=tan(3π4−C)=−1−tanC1−tanC=−3，
所以A为钝角，
则sinAcsA=−3sin2A+cs2A=1，
解得sinA=3 10,csA=−1 10，
由正弦定理可得ca=sinCsinA=1 53 10= 23，
又ac=3 2，
所以a=3,c= 2,b=csinBsinC= 2× 221 5= 5，
设BC的中点为D，
则AD=12(AB+AC)，
所以AD2=14(AB+AC)2=b2+c2+2bccsA4=2+5+2× 2× 5×(−1 10)4=54，
所以BC边上的中线长为 52．
【解析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tanC．
(2)根据三角形ABC的面积求得ac，根据同角三角函数的基本关系式求得sinA，csA，利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC边上的中线长．
本题考查了正弦定理，重点考查了向量的运算，属中档题．
17.【答案】(1)证明：连接AC交BD于点F，连接EF，点E是线段PC上靠近P端的三等分点，
因为AB/​/CD，CD=2AB，
所以△ABF∽△CDF，
可得AFFC=ABCD=12，所以AFAC=13，
因为PEPC=13，
所以PA/​/EF，而PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，
所以PA//平面BDE；
(2)解：在图1中，PA⊥AB，AB/​/CD，
所以PA⊥CD，PD⊥CD，AD⊥CD，
在图2中，AD=PD=2,PA=2 2，
可得AP2=AD2+DP2，
所以PD⊥AD，
因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD，
因为AD，CD⊂平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，
而AD⊥CD，
由此以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，P(0,0,2)，BC=(−2,2,0)，
PB=(2,2,−2)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅BC=0m⋅PB=0，即−2x+2y=02x+2y−2z=0，令x=1，y=1，z=2，
所以m=(1,1,2)，
又AP=(−2,0,2)，
AP⋅m=1×(−2)+1×0+2×2=2，|AP|= (−2)2+02+22=2 2，|m|= 12+12+22= 6，
所以cs=AP⋅m|AP|⋅|m|=22 2× 6= 36，
设直线AP与平面PBC所成角为α，α∈[0,π2]，
所以sinα=|cs|= 36．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为 36．
【解析】(1)根据线面平行的判定定理证得PA//平面BDE．
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
本题考查直线与平面的平行的证法及用空间向量的方法求线面所成的角的正弦值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设P(x,y)，则线段FP的中点坐标为(x2,y+12)，
因为以PF为直径的圆与x轴相切，
所以|y+12|=12|FP|=12 x2+(y−1)2，
化简得x2=4y，所以Γ的方程为x2=4y；
(2)设A(x0,x024)(x0≠0)，由y=x24,y′=x2，则点A处的切线斜率为x02，
所以直线MA方程为y−x024=x02(x−x0)，整理为y=x02x−x024，
令y=−1，则x=x02−2x0，所以M(x02−2x0,−1)，
易知直线AB斜率为−2x0，所以直线AB：y−x024=−2x0(x−x0)，整理为y=−2x0x+x024+2，
与x2=4y联立可得x24−x024=−2x0(x−x0)，有−2x0(x−x0)=(x−x0)(x+x0)4，
解得x=−8x0−x0，即B的横坐标为−8x0−x0，
所以|BA|= 1+(−2x0)2|−8x0−x0−x0|= 1+4x02|8x0+2x0|=2(x02+4) x02+4x02，
|AM|= 1+(x02)2|x02−2x0−x0|= 1+x024|2x0+x02|=(x02+4) x02+44|x0|，
所以△MAB面积为12|AB||AM|=12×2(x02+4) x02+4x02×(x02+4) x02+44|x0|=(x02+4)34|x03|
=14(|x0|2+4|x0|)3=14(|x0|+4|x0|)3，
又|x0|+4|x0|≥2 |x0|×4|x0|=4，当且仅当x0=±2时，等号成立，
所以△MAB的面积最小值为14×43=16．
【解析】(1)设P(x,y)，则线段FP的中点坐标为(x2,y+12)，根据以PF为直径的圆与x轴相切，列出方程，化简即可得解；
(2)设A(x0,x024)(x0≠0)，根据导数的几何意义求出切线方程，进而可求出M点的坐标，从而可求出直线AB的方程，进而可求出B的横坐标，再列出△MAB面积的表达式，即可得解．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：(1)∵g(x)=x+1x⋅f(x)−lnxx=x+1x(lnx+2ax+1)−lnxx=lnx+2ax，
∴g′(x)=1x−2ax2=x−2ax2，
当a>0时，x∈(0,2a)，g′(x)<0，g(x)单调递减，x∈(2a,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当a≤0时，g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则g(x)在(0,+∞)上单调递增．
综上，当a>0时，g(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增，
当a≤0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)证明：f′(x)=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2(x>0)，
∵x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，
∴x1x2=1,x1+x2=2a−2,x2−x1=2 a2−2a(a>2)．
∴2(a−2) a2−2aa−1=2 a2−2a−2 a2−2aa−1=x2−x1−2x2−x1x2+x1，
综上，要证|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1，
只需证f(x1)−f(x2)∵f(x1)−f(x2)=lnx1x2+2a(1x1+1−1x2+1)=lnx1x2+2ax2−x1(x1+1)(x2+1)=lnx1x2+x2−x1，
即证：lnx2x1−2x2x1−1x2x1+1>0，
设t=x2x1>1,g(t)=lnt−2(t−1)t+1．
∴g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
∴g(t)在(1,+∞)上单调递增，∴g(t)>g(1)=0．
∴|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1成立．
【解析】(1)由g(x)=lnx+2ax，利用导数运算法则可得g′(x)，对a分类讨论，即可得出结论．
(2)f′(x)=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2(x>0)，根据x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，结合根与系数的关系，要证|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1，只需证f(x1)−f(x2)本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论方法、一元二次方程的根与系数的关系、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．