天津市红桥区2025届高三下学期一模试题 数学 含解析

这是一份天津市红桥区2025届高三下学期一模试题 数学 含解析，共19页。
参考公式：
柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高．
锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．
球的体积公式，其中R表示球的半径．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9题，每小题5分，共45分．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案.
【详解】，又，
所以.
故选：B
2. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数以及指数的单调性化简，即可求解.
【详解】由可得，
由可得，
因此，但，
因此命题p是命题q的充分不必要条件，
故选：A
3. 等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 24B. 28C. 36D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】求出公比，得到，从而得到.
【详解】设公比为，则，
所以，
所以.
故选：B
4. 已知，记，则的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故选：A
5. 在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 该省考生数学成绩的中位数为75分
B. 若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分
C. 从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人
D. 若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.
【答案】A
【解析】
【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．
【详解】由频率分布直方图知中位数在上，设其为，则，
解得，A错；
要全省的合格考通过率达到，设合格分数线为，则，，B正确；
由频率分布直方图优秀的频率为，因此人数为，C正确；
由频率分布直方图得平均分为，考试数学成绩的平均分约为70.5,D正确．
故选：A.
6. 抛物线 的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程的斜率，根据直线垂直的条件可得答案.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，
根据两焦点坐标可得该直线斜率为，
因为两焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，所以，解得，
故选：B.
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式即得.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，且，即时，取等号，
所以的最小值为2.
故选：D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（ ）
①关于点对称；
②关于直线对称；
③在区间上单调递减；
④在区间上的值域为；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数的图象确定函数的解析式，在逐项判断即可.
【详解】由函数的图象可知：，.
因为，又，所以.
因为，
所以，所以，.
由图象可知：，即.
所以当时，.
所以.
对①：因为，所以的图象不关于对称，①错误；
对②：因为，所以的图象关于直线对称，②正确；
对③：当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，③正确；
对④：当时，，所以，所以，④正确.
故选：C
9. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求点的轨迹方程，并确定三棱锥体积最大时的点的位置，再代入三棱锥外接球的半径公式，即可求解.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，，，由可知，
，
整理为，
所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆，
如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且，
所以平面，，
等腰直角三角形的外接圆的半径为，
所以三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积
故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10. 已知i是虚数单位，则________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数除法运算法则求解.
【详解】.
【点睛】本题考查复数除法运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
11. 展开式中的常数项为___________．
【答案】15
【解析】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可得展开式中的常数项.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中的常数项为.
故答案为：15
12. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，
由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.
故答案为：8
13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可.
【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，
恰有一个是合格品的概率为，
若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.
故答案为：；.
14. 如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】连接的中位线，利用三角形相似得到，再利用加法的三角形法则表示出，即可得到的值；同理表示出，利用向量的数量积运算即可得到结果.
【详解】
如图所示：连接，
因为D，F分别为，的中点，
所以是的中位线，所以，
则，
所以，所以；
因为，
所以
.
故答案为：；.
15. 已知函数 ，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图像，的图像是在轴下方的部分向上翻折形成，考虑，，三种情况，根据相切计算斜率，结合图像得到答案.
【详解】的图像是在轴下方的部分向上翻折形成，
画出函数图像，如图所示：
当时，，有两个零点，不满足；
当时，过点，与相切与点，，故，即，解得，，根据图像知当时，有且只有个零点；
当时，，过点，与相切与点，，故，即，解得，，根据图像知，当，即时，有且只有个零点；
综上所述：当时，有且只有个零点.
故答案为：
三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 在中，内角所对的边分别是，已知，，
（1）求b，c的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知，利用余弦定理，代入求解即可；
（2）根据正弦定理进行求解即可；
（3）由（2）可求得，然后利用两角差的正弦公式展开计算即可.
【小问1详解】
因为，，，则，
由余弦定理，，则，
解得，.
【小问2详解】
由（1）知，
由正弦定理，则.
【小问3详解】
由（2）知，
又，则，
所以，
则．
17. 如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，．
（1）求证：∥平面PBC；
（2）求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行；
（2）求出平面的法向量，然后利用向量法求解两平面夹角的余弦值；
（3）利用点到平面的向量距离公式求解即可.
【小问1详解】
如图所示，
建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，
，
则
设平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
因为，
所以，且平面，即∥平面；
【小问2详解】
设平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
于是，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
小问3详解】
由，平面的法向量，
则点A到平面PBC的距离，
所以点到平面的距离为．
18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线，联立方程组由，求得， 设，得到，再由和的方程，求得和，结合，得到，将和，代入化简得到，求得，进而得到答案.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，
可得，解得，椭圆.
【小问2详解】
设直线，联立方程组，整理得，
则且，可得，所以，
设，则，
则直线的方程为，与直线交于点，
直线的方程为，与直线交于点，
当时，且，则，
将，
代入可得，所以，解得，
所以斜率的取值范围为．
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
19. 已知等比数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）记，求证：
【答案】（1）
（2）
（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
当时，有，则 ①
当时，，两式相减可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比数列的通项公式为（）.
【小问2详解】
由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列，
所以，
则，
设，则是递增数列，
当为偶数时，恒成立，即，所以；
当为奇数时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是.
【小问3详解】
证明：由（1）得，
则有
.
,原不等式得证.
20. 已知函数，．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）当时，，求实数a的取值范围；
（3）已知，证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式直线方程求解即可；
（2）先利用导数法证明，然后按照和分类讨论，时结合结论放缩证明即可，时举反例判断，即可得解；
（3）当时，由（2）得，变形得，令，得，再构造函数，利用导数法证明，进而，利用累加法即可证明.
【小问1详解】
因为，
则函数在点处的切线斜率为，
又，
所以函数在点处的切线方程；
【小问2详解】
设，，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
则函数，所以，
当时，，即，
当时，取，观察的其中的一个零点为，
由于，
而，得，
即，不合题意，
综上所述，实数的取值范围是；
【小问3详解】
当时，由（2）得，
则，所以，即，则，
令，得，所以，即，
又，
令，则，且不恒为零，
所以在上单调递增，即，则，
所以，
即