河北省2025届初中学业水平考试（结课考试一）数学试卷(含解析)

这是一份河北省2025届初中学业水平考试（结课考试一）数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．由相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，组成这个几何体需要小正方体（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
4．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
5．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长为（）
A．B．C．D．
6．已知一个等腰三角形其中一边长分别为，另外两边长为方程的解，则它的周长为（ ）
A．B．C．D．或
7．如图，点B在反比例函数的图象上，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为 ．
14．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
15．杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）．
16．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ．
三、解答题
17．下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务一：
小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________；
小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________．
任务二：写出该方程的正确求解过程．
18．为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧：
19．已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．
(1)求m，n的值；
(2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由．
20．游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局．
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____；
(2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明；
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？
21．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．

(1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长．
(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，）
22．已知：如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D．
(1)求的长度：
(2)过C作于点H，求的面积．
23．如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线解析式；
(2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？
(3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度．
24．如图，在中，直径所在的直线垂直于弦，连接，过点C作交于点D，连接．
(1)若，，求的半径；
(2)求证：；
(3)小聪发现，如果将条件“”改为“点D在弧上”，过点A作于E，能得到一个一般性的结论“”．请同学们完成证明．
…
0
3
5
…
…
0
…
小刚同学：
解：．第一步
．第二步
解得．第三步
小颖同学：
解：．第一步
．第二步
．第三步
或．第四步
解得或第五步
主题：双皮奶销售方案制定问题
顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品．
素材1
卡通财神双皮奶
缤纷双皮奶
素材2
经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份．
素材3
为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份．
问题解决
任务1
求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？
任务2
为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？
《2025年河北省初中学业水平考试（结课考试一）数学试题》参考答案
1．B
解：由二次函数，知该抛物线开口朝上，且对称轴为直线，
点、、在函数图象上，
且
∴．
故选：B．
2．B
根据三视图可知，底面有4个正方体，
第二层有1个正方体，
搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5．
故选：B．
3．D
解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
故选：D．
4．B
解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交．
故选B．
5．D
解：为的黄金分割点，，
，
的长度为，
，
，
，
故选：D．
6．C
解：
∴
解得：
当是等腰三角形的底边时，三边分别为，，
∵，不能构成三角形，
∴此种情况不存在；
当是等腰三角形的腰时，三边分别为，，．能构成三角形
周长为
故选：C．
7．C
解：∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴矩形的面积为．
故选：C．
8．B
解：列表如下：
所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种，
则．
故选：B．
9．B
解：六边形是正六边形，
，，
，
故选：B
10．D
解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示：
由切线长定理可知：，，，，，
，，
，，
，
故选：D．
11．A
解：如图，连接，作，
∴，
∵点是中点，
∴，，
当时，点在上，点在上，，
∴；
如图，当时，点在上，点在上，
∵，
∴，，，
∴
；
如图，当时，点都在上，
∴，
综上判断选项的图象符合题意，
故选：．
12．D
解：由题意可得，，
在中，，
如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
∴，
∴，
点O为跷跷板的中点，
∴，
是的中位线，
，
故选：D．
13．
解：∵线段和线段关于原点位似，
∴，
∴，
∴，
∴点C为的中点，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
四边形是平行四边形，
,的纵坐标相同，
，
的纵坐标是，
点在反比例函数图象上，
将代入函数表达式中，得到，
，
，
，的纵坐标是，
，
即，
解得．
故答案为：．
15．
解：设
∵小扇形的半径为，弧长为，
∴，
则，
则，
∵大扇形的半径为，扇面的宽度为，
∴，
则
故答案为：
16．①②③④
解：①，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，，
，解得：，故此项正确；
故答案：①②③④．
17．任务一：二，方程两边同时除以可能为0的代数式；三，提公因式时，后边的未变号；任务二：，．
任务一：
解：代数式的值可能为，
小刚同学在第二步中，方程两边同时除以是错误的；
小颖同学在第三步时提公因式时，
后边的是，
提公因式时，后一项应变号，而小颖同学没有变号，
小颖同学的做法错误；
任务二：
解：，
移项得：，
整理得：，
提公因式得：，
或，
解得：，．
18．任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元
解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，
由题意得，整理得，
解得或（不合题意，舍去）
答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；
任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
为了尽快减少库存，，
答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元．
19．(1)，
(2)的面积不变．
（1）解：把代入得：，
，
把代入得：，
解得；
（2）解：的面积不变．
∵点P是反比例函数的图象上一点，
．
20．(1)
(2)
(3)公平，见解析
（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况，
∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为；
（2）解：列表如下：
由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种，
∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为；
（3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为，
∵
∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的．
21．(1)2米
(2)能，理由见解析
（1）解：如图，过点作，垂足为，

由题意可知，，米，米，
在 中，，（米），
（米），
（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：依题意，
当，米时，且，
则，
∵点D距地面为米
∴（米），
（米），
（米），
，
能通过．
22．(1)5
(2)
（1）解：过点作于F，过点作于H，则：，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得：，
∴的面积．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：由题意得抛物线经过点，顶点为，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：当，则，
解得：，
则此时水面宽度为，
原先水面宽度为，
∴水面宽度增加；
（3）解：，
∴对称轴为直线，
设，则，
由题意得：，
∴，
∴
，
∴开口向下，由，
得当时，．
24．(1)
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图，设交于G，连接，
∵直径所在的直线垂直于弦，，
∴，，
在中，，则，
设的半径为r，则，，
在中，由得，
解得，即的半径为；
（2）证明：如图，连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图，在上截取，连接、、，设直线交于G，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴．
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
小刚二叔
小刚父亲
A
B
C
D