2025年高考第三次模拟考试卷：数学（新高考Ⅰ卷03）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（新高考Ⅰ卷03）（解析版），共18页。试卷主要包含了若，则，下列命题正确的是，已知定义域在R上的函数满足等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，则，所以，
所以，又，
所以，则，.
故选：A．
2．若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 对应的点在第一象限B.
C. 的虚部为D.
2.【答案】B
【解析】由两边乘以得，，
所以对应点在第四象限，
的虚部为，，，
所以B选项正确，ACD选项错误.
故选：B
3．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ）
A. 极差变大B. 平均数变大C. 方差变小D. 第25百分位数变小
3.【答案】C
3.【解析】由于，
故，，……，，，
A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，A错误；
B选项，原来的平均数为，
去掉后的平均数为，平均数不变，B错误；
C选项，原来的方差为，
去掉后的方差为，
方差变小，C正确；
D选项，，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即，
，故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即，
由于，第25百分位数变大，D错误.
故选：C
4．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A. 2720B. 3160C. 3000D. 2940
4.【答案】D
【解析】共有两种分配方式，一种是，一种是，
故不同的安排方法有.
故选：D
5．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ）
A. 2B. －2C. 6D. －6
5.【答案】D
【解析】
因为为边上的中线，所以，
又BE为边AC上的高，
所以，且在中，，
所以
.
故选：D.
6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.【答案】B
【解析】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，
则有：，，，
所以，又因为，即，，
可得：，解得，故离心率为．
故选：B．
7．若，则（ ）
A. B. C. D.
7.【答案】C
【解析】因为，解得，
所以，
.
故选：C.
8．已知函数的定义域为为的导函数且，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. 5
C. D.
8.【答案】D
【解析】对于D，为偶函数，则，
两边求导可得，则为奇函数，
则，令，则，，D对；
对于C，令，可得，则，C错；
对于B，，可得，
可得，
两式相加可得，
令，即可得，B错；
又，
则，
，可得，
所以是以为周期的函数，
所以根据以上性质不能推出，A不一定成立.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
B. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
C. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
D. 某人解答5个问题，答对题数为，若，则
9.【答案】BCD
【解析】对于A，因为，即组数据比组数据的相关性较弱，故A错误；
对于B，若样本数据方差为，则数据的方差为，故B正确；
对于C，将这原来的30个数从小大大排列为，则，所以原来的22%分位数为，
若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为，则，所以剩下28个数据的22%分位数为，
由于互不相同，所以C正确；
对于D，某人解答5个问题，答对题数为，若，则，故D正确.
故选：BCD.
10．已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周期B.
C. 在上单调递增D. 是偶函数
10.【答案】BC
【解析】由于是奇函数，所以，则
又，则，所以，所以的周期为8，A错误，，
，故B正确，
根据函数的性质结合，，作出函数图象为：
由图象可知：在上单调递增，C正确，
由于的图象不关于对称，所以不是偶函数，D错误
故选：BC
11．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 当时，B.
C. 数列单调递增，单调递减D. 当时，恒有
11.【答案】ACD
【解析】由题意可得：，，
由可知：，但，
可知对任意的，都有，
对于选项A：若，
则，
即，故A正确；
对于选项B：，
即，故B错误.
对于选项C：因为，，
则，且，
可知是等比数列，则，
设，，
可得，，
因为，可知为递增数列，
所以数列单调递增，单调递减，故C正确；
对于选项D：因为，，
由，可得，即，则，即；
由，可得，即，则，即；
以此类推，可得对任意的，都有，
又因为，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为________
12.【答案】
【解析】因为，所以，即，
又，为单位向量，则，，
所以向量在向量方向的投影向量为.
故答案为：
13．若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____．
13.【答案】
【解析】由，可得，即，
令，则
又在区间内没有零点，
则区间内不存在整数，
又，则正数ω满足，
则，则，解之得，
则正数ω的取值范围是.
故答案为：
14．函数，若，则的最小值为___________.
14.【答案】
【解析】因为的定义域为，
，所以在为增函数，
，所以，
又，在为增函数，所以，即，
因为，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，，成等比数列.
（1）求；
（2）若，求.
【解析】（1） 由正弦定理及，得，（2分）
即，（4分）
由余弦定理得，
所以，（5分）
因为,,成等比数列，所以，（6分）
所以.（7分）
（2）因为，整理得，（8分）
因为，所以，所以，（10分）
代入得，（12分）
则根据正弦定理有.（13分）
16．（15分）
已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，
且点的横坐标为6．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．
【解析】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，（1分）
双曲线的渐近线方程为，（2分）
因为点在双曲线的渐近线上，所以，（3分）
所以点的坐标为，（4分）
又点在抛物线上，所以，所以，（5分）
故抛物线的标准方程为：；（6分）
（2）设直线的方程为，联立，消得，，（8分）
方程的判别式，即，（9分）
设，则，（10分）
设关于轴的对称点为， （11分）
则直线的方程为，（12分）
根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上，
令得：（13分）
．（14分）
直线过定点．（15分）
17．（15分）
如图，三棱柱中，侧面与底面垂直，且，，为侧棱的中点，三棱锥的体积为.

（1）求三棱柱的高；
（2）已知点在上，且，若平面，求实数的值；
（3）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】（1） 因为平面，
所以，
又，所以，（1分）
在中，，，
所以，（2分）
所以，
所以，（3分）
设三棱柱的高为，则，解得；（4分）
（2）设的中点为，连接、，
因为且，所以四边形为平行四边形，（5分）
所以，又平面，平面，所以平面，
因为平面，，平面，（6分）
所以平面平面，又平面平面，平面平面，
所以，（7分）
因为为的中点，所以为的中点，
所以，即；（8分）
（3）过点作于点，连接，
因为侧面与底面垂直，侧面底面，
所以平面，（9分）
因为且，所以，
又，平面，所以平面，（10分）
又平面，所以，
如图建立空间直角坐标系，因为平面，所以，
，则，，，，
因为，则，
所以，则，
又，，（11分）
设平面的法向量为，
则，取，（12分）
又，
设平面的法向量为，
则，取，（13分）
设平面与平面的夹角为，
则，（14分）
所以平面与平面的夹角的余弦值为.（15分）

18．（17分）
2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
（1）若只取1块，求它是由B队所采的概率；
（2）若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望；
（3）假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
【解析】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，（2分）
所以若只取1块，它是B队所采的概率为.（3分）
（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，（4分）
与（1）同理可求得若只取1块，则，（5分）
由B，C两队所采的概率为.（6分）
依题意可知的取值为0，1，2，且.（7分）
所以，，，（9分）
所以的分布列为：
数学期望.（10分）
（3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，.（11分）
所以，，.（12分）
又（13分）
，（14分）
即今年冰块的利用率约为0.67.（15分）
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约.（16分）
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，
可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.（17分）
19．（17分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）若的定义域为，求的取值集合.
【解析】（1）当时，.（1分）
.（3分）
故曲线在点处的切线方程为，
即.（4分）
（2），即.
①当时，，原不等式恒成立.（5分）
②当时，令函数，
所以在上单调递增.
令，解得.（6分）
当时，，原不等式恒成立
当时，，原不等式等价于，
化简得.
令函数.（7分）
若，则当时，恒成立，即原不等式恒成立.
若，则存在，
所以0不恒成立，即原不等式不恒成立.（8分）
若，则在上单调递减.
因为，（9分）
所以当时，，即原不等式恒成立.
综上，的取值范围为.（10分）
（3）当时，由（2）可得，不符合题意.（11分）
当时，
，不符合题意（12分）
当时，满足，符合题意.（13分）
当时，，解得或，
所以的定义域为.（14分）
.
要使得，则必须满足，
即，解得（舍去）.
当时，的定义域为，
.
当时，.
当时，，（15分）
.
在上单调递减，在上单调递增.（16分）
因为，所以，满足题意.
综上，的取值集合为.（17分）0
1
2
P