河北省唐山市第八中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份河北省唐山市第八中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则 （ ）
A．1B．C．D．2
3．在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
4．在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．设的内角A，，所对的边分别为，，，若，则等于（ ）
A．B．
C．D．
7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为（ ）米.
A．B．
C．D．
8．在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题（本大题共3小题）
9．下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
C．边长为的正方形中
D．若点为的重心，则
11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，D．若，，则面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数满足，则的实部为 ．
13．向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
14．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，且与夹角为求：
(1)；
(2)与的夹角．
16．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判断的形状．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．
（1）求；
（2）求的长．
18．的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
19．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
(1)若，，求的坐标；
(2)若，，且，求实数的值；
(3)若，，求向量的夹角的余弦值.
参考答案
1．【答案】D
【解析】先求出的坐标，再通过可求出的坐标.
【详解】
又因为，
所以，
故选D.
2．【答案】B
【详解】，
.
故选B.
3．【答案】D
【详解】由，可得，即，则四边形为平行四边形；
又由，可得，则平行四边形四边形为菱形
故选D.
4．【答案】B
【详解】，，
，
由正弦定理得，
.
故选B.
5．【答案】B
【详解】法一：
由单位向量的夹角为，可得，．
若向量与向量的夹角为锐角，
则且向量与向量不共线．
由，得；
由向量与向量不共线，得，即．
所以由向量与向量的夹角为锐角，得且．
易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.
综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．
法二：
因为单位向量的夹角为，所以不妨令，，
则，．因为向量与向量的夹角为锐角，
所以，且，得且．
当时，可得，
此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.
综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．
故选B．
6．【答案】A
【详解】由于，故，
故，
故选A.
7．【答案】B
【详解】由题知，，，则，，
又，所以，所以，，
在中，，
根据正弦定理有，
且，
则，
在中，.
所以山高为米.
故选B.
8．【答案】A
【详解】
∵，∴，
∴.
∵A，P，D三点共线，∴.
∵，∴.
∵E是边AB的中点，∴.
∵E，P，F三点共线，∴，
∴，解得，，
∴，即，，故.
故选A.
9．【答案】ABD
【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确；
向量的数量积满足交换律，所以，故正确；
根据数量积定义知，数量积为一实数，
所以为，表示与共线的向量，
而为，表示与共线的向量，
所以不一定成立，故错误；
根据数量积定义知，故正确；
故选.
10．【答案】AD
【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；
对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；
对于选项C，边长为的正方形中，故C错误；
对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.
故选AD.
11．【答案】ABD
【详解】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选ABD.
12．【答案】
【详解】设，则，
所以，，所以，，解得，
因此，复数的实部为.
13．【答案】
【详解】向量在向量上的投影向量为．
14．【答案】/-0.2
【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，
又，故的平分线与垂直，
由三线合一得到，取的中点，
因为，故，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
15．【答案】(1)12；
(2).
【详解】（1），，且与夹角为，
，，
，
；
（2），
，
，
设与的夹角为，
，
又，
所以，即与的夹角为．
16．【答案】(1)；
(2)；
(3)正三角形．
【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，及，得，
所以.
（3）由及，得，则，由（1）知，
所以为正三角形.
17．【答案】(1)；(2).
【详解】(1)由AB∥CD可得，则，
即，而，即有，
在中，，
所以；
(2)由(1)知，，
在中，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
即，解得或(舍去)，
所以的长为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若，，则，
则
故的坐标为.
（2）若，，且，
则，，
由已知得，.
所以
，解得.
（3）若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.