江西省南昌中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题【含答案】

这是一份江西省南昌中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题【含答案】，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列的通项公式为，则的值为（ ）
A．1B．2C．0D．3
2．2000是等差数列4，6，8，…的（ ）
A．第998项B．第999项C．第1001项D．第1000项
3．已知为等比数列，，，则的值为（ ）
A．B．9或C．8D．9
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A．n(n＋2)B．n(n＋4)
C．n(n＋5)D．n(n＋7)
5．已知数列中，且对于大于2的正整数，总有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．设等差数列的前项和为，若，，则， ，…， 中最大的是 ( )
A．B．C．D．
7．设是等差数列的前项和，已知，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．“贪食蛇”的游戏中，设定贪吃蛇从原点出发，沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进，不停的吞食沿途的每一个格点（不包括原点），已知贪吃蛇的初始长为0，并且每吞食一个格点，长度就增加1个单位，如它头部到达点，其长度增加到12，若当它到达点时，则它的长度增加到（ ）
A．30B．306C．360D．350
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列叙述正确的是（ ）
A．若等差数列的公差，则数列为递增数列
B．若等比数列的公比，则数列为递增数列
C．若，则a、b、c成等比数列
D．若是等比数列的前项和，则无解
11．已知数列满足，设其前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ．
13．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：能被整除”时，第二步假设当时命题为真后，需证 时命题也为真．
14．已知各项为正数的等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的通项公式为，且
(1)求的通项公式；
(2)判断数列的增减性，并说明理由.
16．在数列中，.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式.
17．若数列的首项，且满足，
(1)证明数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
18．数列中，，.
(1)求的值；
(2)令，求数列的通项公式;
(3)求数列的前项和.
19．在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列.
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，.
①求数列的通项公式；
②若，记的前项和为，证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，所以.
故选B.
2．【答案】B
【详解】数列4，6，8，…的通项公式为，.则2n＋2＝2 000.解得n＝999.
故选B.
3．【答案】D
【详解】为等比数列，所以，
所以.
故选D.
4．【答案】C
【详解】a1＋a2＋…＋an＝ (2n＋4)＝n2＋2n.
∴bn＝n＋2，
所以数列{bn}是等差数列，
∴bn的前n项和Sn＝=n(n＋5) .
故选C.
【思路导引】先求出bn＝n＋2，再利用等差数列的前n项和公式求数列{bn}的前n项之和.
5．【答案】D
【详解】因为且对于大于2的正整数，总有，
所以，，，
，，，
所以数列是以6为周期的周期数列，
所以.
故选D
6．【答案】B
【详解】∵，∴．
又，
∴，
∴，且．
∴数列的前项均为正数且数列是单调递减的，从第项开始均为负数，
则当时，数列是递增的正数项数列，其最大项为；
当时，各项均为负数．
∴数列中最大．
故选B．
7．【答案】D
【详解】由题意可得，①
又因为，②
①②可得，所以，，
由，解得.
故选D.
【思路导引】利用等差数列的基本性质求出的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.
8．【答案】B
【详解】设它的头部到达点时，其长度增加，
则由题意可知，，
当时，，
即，
所以，，…，，
累加得，
所以，即它的头部到达点时，其长度增加，
故选B.
【思路导引】设它的头部到达点时，其长度增加，根据图形分析可得，利用累加法求出即可.
9．【答案】AB
【详解】由题意知为等比数列，设其公比为q；
对于A，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；
对于B，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
对于C，当时，，数列不是等比数列，故C错误；
对于D，当时，，数列不是等比数列，故D错误.
故选AB.
10．【答案】AD
【详解】对于A：因为，可知数列为递增数列，故A正确；
对于B：例如，则，即，可知数列不为递增数列，故B错误；
对于C：例如，满足，但a、b、c不成等比数列，故C错误；
对于D：设等比数列的公比为，且，
若，则；
若，则；
综上所述：无解，故D正确；
故选AD.
11．【答案】AD
【详解】因为，，
当时，，
也满足，故对任意的，，
对于A选项，，A正确；
对于B选项，，B错误；
对于C选项，因为，
所以，
，
，C错误；
对于D选项，，
所以，，D正确.
故选AD.
12．【答案】35
【详解】因为{an}，{bn}都是等差数列,所以也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝.
13．【答案】
【详解】为正奇数，第二步假设第项成立，
第三步证明相邻正奇数第项成立.
14．【答案】
【详解】设等比数列的公比为,由,
可得到,
由于,所以,解得或.
因为各项全为正,所以.
由于存在两项使得，
所以,,
，,可得.
当时,;
当时，；
当时,;
当时,;
综上可得 的最小值为.
15．【答案】(1);
(2)单调递减，理由见解析.
【详解】（1）由题意得：，解得，所以；
（2）因为，
所以，即是递减数列.
16．【答案】(1);
(2).
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，
所以，
所以.
17．【答案】(1)证明见详解；
(2).
【详解】（1）由，可得，
，则，对任意的，，则，
故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为；
（2）根据（1）可得，
所以，则，
设数列的前项和为，
所以.
18．【答案】(1);
(2);
(3).
【详解】（1）由，
可得：；
（2）由题意可知，对任意的，，即，
且，所以，
所以数列是等比数列，且该数列的首项和公比均为.
所以;
（3）由（2）可知，
当时，
，
也满足，故对任意的，，
所以，，
设数列的前项和为，
则，
，
上述两个等式作差可得
，
所以，，
所以，
.
因此，.
19．【答案】(1)是，理由见详解;
(2)①；②证明见详解.
【详解】（1）因为，所以，
令，则，
所以，即为等差数列，
所以为二阶等差数列.
（2）①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为，
所以，即，
所以，
，
，
……
，
将以上个式子左、右分别相加，得，
所以，
又，满足上式，
所以.
②证明：由（1）得，
所以.
因为，所以为递增数列，
所以；
又，
所以
.
因为，所以，
又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即
所以.
【方法总结】裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后，可以消去一部分，从而计算和的方法，适用于通项为1an·an+1的前n项和，其中{an}为等差数列，1an·an+1＝1d1an-1an+1.
常见的拆项方法：
①12n-12n+1＝1212n-1-12n+1；
②1nn+1n+2＝12[1nn+1－1n+1n+2]；
③1nn+k＝1k1n-1n+k；
④kanan-1an+1-1＝ka-1(1an-1－1an+1-1)(a>0，a≠1)．