山东省聊城市莘县实验高级中学2025届高三下学期4月联考数学试卷（含答案）

这是一份山东省聊城市莘县实验高级中学2025届高三下学期4月联考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x0≤x≤a ，B=xx2−2x≤0 ，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A. (0,2)B. [0,2]C. (−∞,2)D. (−∞,2]
2.若z=−12+ 32i，则z2+z+1=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.“a=−2”是“直线l1:ax−y+3=0与l2:2x−(a+1)y+4=0互相平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在▵ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，P为线段BN上一点，若AP=m+110AB+110BC，则m=( )
A. 310B. 25C. 35D. 710
5.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( )
A. y=x−1B. y=lnx2C. y=csxxD. y=−x2
6.要得到y=cs2x−sin2x的图象，只需将y= 2sin2x的图象( )
A. 向左平移3π4个单位B. 向右平移3π4个单位
C. 向左平移3π8个单位D. 向右平移3π8个单位
7.中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中O1O3=20 cm，O1O2=2 cm，AB=16 cm，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是(参考数据：π≈3，铜的密度为8.96gcm3)( )
A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg
8.已知双曲线C1:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，圆C2：x2+y2−2bx+14b2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2没有公共点，则双曲线C1的离心率的范围是( )
A. 1,2 33B. 2 33,+∞C. (1,2)D. (2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是( )
A. 中位数不变B. 平均数不变C. 方差不变D. 第40百分位数不变
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x0，则函数f(x)满足( )
A. f(0)=0B. y=f(x)是奇函数
C. f(x)在[1,2]上有最大值f(2)D. f(x−1)>0的解集为{x|x0,c≠1)是“优美函数”，则t的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b≥c，sinB+ 3csB=2sinC．
(1)求角A的大小；
(2)延长边AC到点D，使AC=2CD，已知c=1，且▵BCD的面积为 34，求sin∠CBD．
16.(本小题12分)
如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A−BCDE与一个三棱锥F−ADE拼接而成，正四棱锥A−BCDE的所有棱长均为3 2，AF//CD．
(1)在棱DE上找一点M，使得平面ABC⊥平面AFM，并证明你的结论；
(2)若AF= 2，求直线EF与平面ABC所成角的余弦值．
17.(本小题12分)
设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点.若椭圆E的离心率为 22，▵ABF2的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)点A关于x轴的对称点为C(不同于点B)，证明：直线BC恒过定点，并求出定点坐标．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=−ax+lnx
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1，证明：f1x> −ex
19.(本小题12分)
马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n−1,n−2,n−3,⋅⋅⋅次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行nn∈N∗次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn．
(1)求X1的分布列；
(2)求数列an的通项公式；
(3)求Xn的期望．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.D
6.C
7.A
8.A
9.AD
10.ABD
11.ACD
12.2
13.4
14.0,14
15.(1)由sinB+ 3csB=2sinC得12sinB+ 32csB=sinC
所以sinB+π3=sinC,
由于b≥c，故B≥C，所以π−B+π3=C，故B+C=2π3
所以A=π−B−C=π3；
(2)因为AC=2CD，且▵BCD的面积为 34，所以▵ABC的面积为 32，
所以12×AB×AC×sinA= 32,所以AC = 2，
因为AC=2CD，所以CD=1,AD=3，
在▵ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA=3，
所以BC= 3，
由于AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．
所以∠ABC=π2,∠ACB=π6,∠BCD=π−π6=5π6，
在▵ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=7，
所以BD= 7，
在▵BCD中，由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，
即sin∠CBD=CDsin∠BCDBD= 714.

16.(1)当点M为DE中点时，平面ABC⊥平面AFM，证明如下：
因为四棱锥A−BCDE是正四棱锥，且点M为DE中点，AD=AE,故AM⊥DE．
在正方形BCDE中，DE//BC，所以AM⊥BC．
在正方形BCDE中，CD⊥BC，因为AF//CD，所以AF⊥BC，
因为AF∩AM=A，AF,AM⊂平面AFM，
所以BC⊥平面AFM，因为BC⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面AFM．
(2)连接BD与CE交于点O，连接AO，因为四棱锥A−BCDE是正四棱锥，
所以OC,OD,OA两两垂直，以O为坐标原点，以直线OC,OD,OA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵CD=AB=AD=3 2,∴OC=OD=3,AO= AD2−DO2=3，
又AF= 2，又CD=3 2,∴AF=13CD，
则O(0,0,0),A(0,0,3),B(0,−3,0),C(3,0,0),D(0,3,0),E(−3,0,0),F(−1,1,3)，
所以BA=(0,3,3),CA=(−3,0,3),EF=(2,1,3)．
设平面ABC的法向量为m=(x,y,z)，得BA⋅m=3y+3z=0CA⋅m=−3x+3z=0
取z=1，得m=(1,−1,1)，
设直线EF与平面ABC所成角为θ，
sinθ=|2×1+1×(−1)+3×1| 22+12+32× 12+(−1)2+12=2 4221，
因为角θ∈0,π2所以csθ= 1−1642= 27321.
17.(1)▵ABF2的周长为AF2+|AB|+BF2=AF2+AF1+BF1+BF2=4a=8，
设椭圆E的焦距为2c(c>0)，则{ca= 224a=8a2=b2+c2，解得a=2b= 2c= 2,
所以，椭圆E的方程为x24+y22=1．
(2)易知点F1− 2,0，如下图所示：
若直线AB与x轴重合，此时，点A在x轴上，不合乎题意，
设直线AB的方程为x=my− 2，
若AB⊥x轴，则点A、B关于x轴对称，不合乎题意，所以，m≠0，
设点Ax1,y1、Bx2,y2，则点Cx1,−y1，
联立x=my− 2x2+2y2=4可得m2+2y2−2 2my−2=0，
则Δ=8m2+8m2+2=16m2+1>0，
由韦达定理可得y1+y2=2 2mm2+2，y1y2=−2m2+2，
直线BC的方程为y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，
由对称性知，直线BC过x轴上的定点，
在直线BC的方程中，令y=0可得x=x1y2+x2y1y1+y2=my1− 2y2+my2− 2y1y1+y2
=2my1y2y1+y2− 2=−4mm2+22 2mm2+2− 2=−2 2．
因此，直线BC过定点−2 2,0．
18.(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x+ax2．
当a≥0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a0．
因为x0∈12,1，所以φx0>0，即gx0>0，所以g(x)>0，
所以a=1时，f1x> −ex．
方法二：设ℎ(x)=ex−x−1，x∈12,1．
则ℎ′(x)=ex−1>e12−1>0，所以ℎ(x)在12,1上单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ12= e− 94>0，
所以ex−x>1．
因为x0∈12,1，所以ex0−x0>1，
所以gx0=ex0−x0−lnx0>1−lnx0>0，
所以a=1时，f1x> −ex．
19.(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
PX1=0=13×23=29;PX1=1=13×13+23×23=59;PX1=2=23×13=29，
故X1的分布列如下表：
(2)由全概率公式可知：
PXn+1=1
=PXn=1⋅PXn+1=1Xn=1 +PXn=2⋅PXn+1=1Xn=2
+PXn=0⋅PXn+1=1Xn=0
=13×13+23×23PXn=1+23×1PXn=2+1×23PXn=0
=59PXn=1+23PXn=2+23PXn=0，
即：an+1=59an+23bn+231−an−bn，
所以an+1=−19an+23，
所以an+1−35=−19an−35，
又a1=PX1=1=59，
所以，数列an−35为以a1−35=−245为首项，以−19为公比的等比数列，
所以an−35=−245⋅−19n−1=25⋅−19n，
即：an=35+25⋅−19n．
(3)由全概率公式可得：
PXn+1=2
=PXn=1⋅PXn+1=2Xn=1 +PXn=2⋅PXn+1=2Xn=2
+PXn=0⋅PXn+1=2Xn=0
=23×13⋅PXn=1+13×1⋅PXn=2+0⋅PXn=0，
即：bn+1=29an+13bn，
又an=35+25⋅−19n，
所以bn+1=13bn+2935+25−19n，
所以bn+1−15+15−19n+1=13[bn−15+15−19n]，
又b1=PX1=2=29，
所以b1−15+15×−19=29−15−145=0，
所以bn−15+15−19n=0，
所以bn=15−15−19n，
所以EXn=an+2bn+01−an−bn=an+2bn=1．
X1
0
1
2
P
29
59
29