陕西省2025届高考适应性检测（三）数学试卷（含答案）

这是一份陕西省2025届高考适应性检测（三）数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈R|x2−2x−3≤0}，B={x|lg2xa，若b3−a3=30000，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为( )
A. 22B. 2C. 1D. 3
5.已知圆C:(x−1)2+(y−2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y−10m−7=0，则直线l与圆C的公共点个数为( )
A. 0个B. 1个
C. 2个D. 与m有关，不能确定
6.在圆内接梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=2π3，BC=2，CD=1，则其外接圆的半径为( )
A. 2 213B. 213C. 2 217D. 217
7.某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品(称为“计划型顾客”)，其余400名顾客则没有特定的购买计划(称为“随机型顾客”).根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有30％的人平均消费金额为100元，另外70％的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额分别为( )．
A. 概率为0.72，平均消费金额为210元B. 概率为0.88，平均消费金额为216元
C. 概率为0.88，平均消费金额为240元D. 概率为0.82，平均消费金额为230元
8.已知函数f(x)定义为：f(x)=2 x−a−x+1,x≥2|x−a|−x−1,x0,b>0)的离心率为 3，直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点．
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)若以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点P(−1,0)，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)设点M是满足(2)的双曲线C上的一个动点，过M分别作C的渐近线的两条垂线，垂足分别为D，E，判断▵DEM的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由．
18.(本小题17分)
无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生(男女各60人)，调查结果如下表所示：
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．
(1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有95％的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
(2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率；
(3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若Pn4≤X≤3n4≥0.9，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值．
结论一：若随机变量ξ∼B(n,p)，则随机变量η=ξ−np np(1−p)近似服从正态分布N(0,1)；
结论二：若随机变量ξ∼N(0,1)，则P(ξ≤1.28)≈0.9，P(ξ≤1.65)≈0.95．
19.(本小题17分)
在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作T(A,B)删去其中除以A余数为B的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列an的通项公式an=2n−1，n∈N∗，通过“数据筛选器”工具对数列an进行T(4,2)操作后得到bn，设an+bn前n项和为Tn．
(1)求Tn；
(2)是否存在不同的正整数p，q，r∈N∗，使得Tp，Tq，Tr成等差数列？若存在，求出所有的(p,q,r)；若不存在，说明理由；
(3)若cn=nTn3×2n−4，n∈N∗，对数列cn进行T(3,0)操作得到dn，将数列dn中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到en，再将en的每一项都加上自身项数，最终得到pn，证明：每个大于1的奇平方数都是pn中相邻两项的和．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.B
5.C
6.B
7.B
8.D
9.BCD
10.ABD
11.ABD
12.(−203,125)∪(125,+∞)
13.4
14.2783
15.证明：(Ⅰ)由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，BE，BD⊂平面BDE，
∴AF⊥平面BDE，
又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面ABFE，
∴DE⊥平面ABFE．
解：(Ⅱ)在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，DE，EF⊂平面DEFC，
即AE⊥平面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作DM//EF交CF于点M，连接CE，
由题意得DM=2，CM=1，则DC⊥CF，则∠CDM=π6，CE=2，
过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以EA，EF，EG分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1, 3)，D(0,−12, 32)，
AC=(−2,1, 3)，AD=(−2,−12, 32)，
设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅AC=0n⋅AD=0得−2x+y+ 3z=0−2x−12y+ 32z=0，取x=1得n=(1,−1, 3)，
设AP=m，则P(2,m,0)，(0≤m≤2)，得CP=(2,m−1,− 3)，
设CP与平面ACD所成的角为θ，
sinθ=|cs|=|m| 5 7+(m−1)2= 520⇒m=23．
所以AP=23．
16.解：(1)f(x)=x+2lnx，x∈0,+∞，由于f′(x)=1+2x，设切点坐标为(x0,y0)，
则y0=x0+2lnx0，切线斜率k=f′(x0)=1+2x0；
另一方面k=y0+2x0=x0+2lnx0+2x0
故1+2x0=x0+2lnx0+2x0⇒lnx0=0⇒x0=1⇒k=3，
此时切点坐标为(1,1)
所以切线方程为y−1=3(x−1)，即y=3x−2．
(2)由已知g(x)=xex−2x−2lnxx>0，
故g′(x)=(x+1)ex−2(1+1x)=(x+1)(ex−2x)
由于x∈(0,+∞)，故x+1>0，由于ℎ(x)=ex−2x在(0,+∞)单调递增
同时limx→0 ℎ(x)=−∞,limx→+∞ ℎ(x)=+∞，故存在x0>0使得ℎ(x0)=0
且当x∈(0,x0)时ℎ(x)0，
所以当x∈(0,x0)时g′(x)0，函数g(x)单调递增．
故g(x)min=g(x0)=x0ex0−2(x0+lnx0)
由于ℎ(x0)=ex0−2x0=0⇒x0ex0=2⇒lnx0+x0=ln2，
所以g(x)min=2−2ln2
17.(1)由e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=3，知ba= 2，
双曲线C的渐近线方程为y=± 2x；
(2)由ba= 2，a=1得b= 2，双曲线C的方程为x2−y22=1
联立方程组y=kx+mx2−y22=1得k2−2x2+2kmx+m2+2=0，
Δ=(2km)2−4×m2+2k2−2=4m2+2−k2>0⇔k2>m2+2
设Ax1,y1，Bx2,y2，则y1=kx1+m，y2=kx2+m，
则x1+x2=−2kmk2−2，x1x2=m2+2k2−2．
因为PA⋅PB=x1+1x2+1+y1y2=0
即x1+1x2+1+kx1+mkx2+m=0，
展开得k2+1x1x2+(km+1)x1+x2+m2+1=0
即k2+1m2+2k2−2+(km+1)−2kmk2−2+m2+1=0，
即3k2−2km−m2=0，(3k+m)(k−m)=0，∴m=k或m=−3k．
当m=k时，直线l:y=k(x+1)过P(−1,0)，不符合题意，舍去；
当m=−3k时，直线l:y=k(x−3)过定点(3,0)．
(3)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为 2x+y=0和 2x−y=0；
设Mx0,y0，有x02−y022=1，即2x02−y02=2
则|MD|⋅|ME|= 2x0−y0 ( 2)2+12⋅ 2x0+y0 ( 2)2+12=2x02−y023=23，
设渐近线y= 2x的倾斜角为θ，则tanθ= 2，sin2θ=2sinθcsθcs2θ+sin2θ=2tanθ1+tan2θ=2 23
所以▵DEM的面积S=12|MD|⋅|ME|sinπ−2θ=12×23×2 23=2 29，
即▵DEM的面积为定值，定值为2 29．
18.(1)如表a=36，b=24，c=24，d=36，
χ2=120×(36×36−24×24)260×60×60×60=4.800>3.841，
∴有95％的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联．
(2)按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1，
故从中选出3人态度各异的概率为C61C31C11C103=320；
(3)由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为12，易知X∼Bn,12，
设Y=X−12n n4=2X−n n，根据结论一，知Y∼N(0,1)．
再根据结论二，知P(−1.65≤Y≤1.65)≈2×0.95−1=0.9．
由条件知Pn4≤X≤3n4=P− n2≤2X−n n≤ n2=P− n2≤Y≤ n2≥0.9，
所以 n2≥1.65，解得n≥10.89，所以正整数n的最小值为11．
19.(1)由an=2n−1，n∈N+知：a1=1,a2=2,a3=4,a5=8,a6=16,⋯，
an中除了a2除以4余2，其余各项除以4余数均不为2，
故b1=1,bn=an+1，n≥2，故an+bn=2,n=1an+an+1,n≥2,
故an+bn=2,n=12n−1+2n,n≥2，故an+bn=2,n=13⋅2n−1,n≥2,
故当n=1时，Tn=2，
当n≥2时，Tn=2+3×22−1+⋯+3×2n−1=2+62n−1−1=3⋅2n−4．
而3⋅21−4=2，故Tn=3⋅2n−4．
(2)存在不同的正整数p，q，r∈N∗，使得Tp，Tq，Tr成等差数列，
不妨设p