2025年福建省龙岩市中考数学模拟卷 （原卷版+解析版）

这是一份2025年福建省龙岩市中考数学模拟卷 （原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了03， 2的相反数是等内容，欢迎下载使用。
初 三 数 学
（本试卷共8页，满分150分；考试时间：120分钟）
温馨提醒：所有答案必须填（涂）在答题卡的相应位置，在此卷上答题无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2的相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
2. 如图所示的机械零件，它的主视图是（ ）
A B.
C. D.
3. 2024年4月，福建省作为“21世纪海上丝绸之路”核心区，成功举办中国—海丝沿线国家经贸合作洽谈会．本届洽谈会吸引了来自30多个国家和地区的企业参与，共签约经贸合作项目158个．据组委会通报，累计达成的意向成交金额约50亿美元．将数据5000000000用科学记数法表示，其结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 体育老师为调查七年级学生体质健康状况，从全校1000名七年级学生中随机抽取50名进行一分钟跳绳测试，并对数据进行整理，结果如表：
跳绳次数不低于180次为优秀，估计七年级学生跳绳测试达到优秀人数有（ ）
A. 50B. 100C. 500D. 900
7. 如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
8. 近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（ ）（参考数据：）

A. 1600mB. 1300mC. 980mD. 900m
10. 已知二次函数 的图象经过点两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数k，使得B. 无论实数k取什么值，都有
C. 可以找到一个实数 k，使得D. 无论实数k取什么值，都有
二、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作______元．
12. 如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则______．

13. 某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈．为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是___．
14. 若点在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m________n（用“”或“”号连接）．
15. 已知，则________．
16. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点（E不与重合），连接，过点E作，交边于点F，给出以下结论：
①若，则平分；
②若，则；
③在点E运动的过程中，动点F可能与点A重合；
④在点E从C运动到D的过程中，逐渐增大；其中正确的是________．（写出正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．
19. 化简代数式，然后判断它的值能否等于，并说明理由．
20. 为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动．比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分．
（1）A班球队在某场比赛中，上半场共投中12个球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？
（2）A班球队预想在下半场比赛中投中12个球，若在没有罚球的情况下，且下半场所得总分不少于29分，则该班级下半场比赛中至少投中多少个3分球？
21. 如图，是的内接三角形，E在的延长线上．给出以下三个条件：①是的直径，②是的切线，③．

（1）请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
22. 学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点．
23. 综合与实践
【任务一】确定弦的长度．
如图2，请你求出 所对弦的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．
【任务三】确定卡纸大小．
如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．
24. 已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，．
（1）用含k的代数式表示b；
（2）求证：；
（3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
25. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，交于点．
（1）用等式表示与的数量关系，并说明原因；
（2）如图2，若为中点，且，求证：，，三点共线．
（3）如图3，若在线段上截取，连接，交于点，求证：．
2025年福建省初中毕业年级模拟考试
2025.03
初 三 数 学
（本试卷共8页，满分150分；考试时间：120分钟）
温馨提醒：所有答案必须填（涂）在答题卡的相应位置，在此卷上答题无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2的相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 如图所示的机械零件，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图，根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】从正面，可得选项D的图形．
故选：D．
3. 2024年4月，福建省作为“21世纪海上丝绸之路”核心区，成功举办中国—海丝沿线国家经贸合作洽谈会．本届洽谈会吸引了来自30多个国家和地区的企业参与，共签约经贸合作项目158个．据组委会通报，累计达成的意向成交金额约50亿美元．将数据5000000000用科学记数法表示，其结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
4. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
∴A、B之间的距离不可能是，
故选：D．
5. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法和幂的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选；C．
6. 体育老师为调查七年级学生体质健康状况，从全校1000名七年级学生中随机抽取50名进行一分钟跳绳测试，并对数据进行整理，结果如表：
跳绳次数不低于180次为优秀，估计七年级学生跳绳测试达到优秀的人数有（ ）
A. 50B. 100C. 500D. 900
【答案】B
【解析】
【分析】用总人数乘以优秀率即可．
【详解】解：，
∴七年级学生跳绳测试达到优秀的人数有100名．
故选：B．
【点睛】本题考查了频数分布表，正确从频数分布表中获取信息是解题的关键．
7. 如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，四边形内角和定理．连接，由切线的性质可得，由四边形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

由切线的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，据此列方程．
【详解】解：设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，
根据题意得，，
故选：A．
9. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（ ）（参考数据：）

A. 1600mB. 1300mC. 980mD. 900m
【答案】B
【解析】
【分析】先解直角三角形求出，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解．
【详解】解：由题意知：，，，，
在中，，
∴，
∵点H，G分别为，的中点，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，三角形中位线定理等，明确题意，熟悉相关性质是解题的关键．
10. 已知二次函数 的图象经过点两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数k，使得B. 无论实数k取什么值，都有
C. 可以找到一个实数 k，使得D. 无论实数k取什么值，都有
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握点的坐标特征是解题的关键．
将两点代入，得到，，，再根据平方非负性进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数 的图象经过点，
∴，
∴无论实数k取什么值，都有，故B符合题意，A不符合题意；
∵，，
∴，故C不符合题意；
∵，，
∴，故D不符合题意，
故选：B．
二、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作______元．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键，由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解．
【详解】解：收入80元记作元，则支出90元记作，
故答案为：．
12. 如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则______．

【答案】##250度
【解析】
【分析】本题考查了三角形及四边形的内角和．熟记相关结论即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为
∴
故答案为：
13. 某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈．为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是___．
【答案】210
【解析】
【分析】先求解总人数,再利用总人数乘以足球所占的百分比即可.
【详解】解：总人数为：（人），
∴该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是（人），
故答案为：210
【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，理解题意，再列式计算是解本题的关键.
14. 若点在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m________n（用“”或“”号连接）．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性直接解题即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第二象限内y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的增减性，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
15. 已知，则________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，代数式求值，完全平方公式的运用，根据，等号左右两边同乘得到，再利用完全平方公式得到，由，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，即，
，即，
，即，
，
，
故答案为：12．
16. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点（E不与重合），连接，过点E作，交边于点F，给出以下结论：
①若，则平分；
②若，则；
③在点E运动的过程中，动点F可能与点A重合；
④在点E从C运动到D的过程中，逐渐增大；其中正确的是________．（写出正确结论的序号）
【答案】①②
【解析】
【分析】如图，延长、交于，利用证明，得，从而证明是的垂直平分线，可知，再利用等腰三角形的性质可得结论，从而可知①正确；证明，得，，可知②正确；当点与重合时，设，，，则，由勾股定理得，，利用根的判别式可知不存在，从而③错误；由，得，则，可知④错误．
详解】解：①如图，延长、交于，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
∵EF=EG，
平分，故①正确；
②，
，
，
，
，
，，
，
，，
，故②正确；
③当点与重合时，设，，，则，
由勾股定理得，，
整理得，，
△，
，
△，
方程无解，
说明不存在，即点与不重合，故③错误；
④由②知，，
，
，
不变，
点从运动到的过程中，逐渐减小，故④错误，
综上：正确的有①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，三角函数等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂、绝对值、二次根式的性质，先计算零指数幂、绝对值、化简二次根式，再计算加减即可得解．
【详解】解：
．
18. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，利用证明，由全等三角形的性质即可得出．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
∴，
∴．
19. 化简代数式，然后判断它的值能否等于，并说明理由．
【答案】，代数式的值不能等于，理由见解析
【解析】
【分析】根据分式混合运算先化简，再列方程求解验证即可得到答案．
【详解】解：
，
代数式的值不能等于，理由如下：
若，解得，
在化简代数式过程中，作过分母，根据分式分母不能为零可知代数式的值不能等于．
【点睛】本题考查分式化简求值，解分式方程，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．
20. 为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动．比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分．
（1）A班球队在某场比赛中，上半场共投中12个球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？
（2）A班球队预想在下半场比赛中投中12个球，若在没有罚球的情况下，且下半场所得总分不少于29分，则该班级下半场比赛中至少投中多少个3分球？
【答案】（1）4分 （2）5个
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据题意列出相应方程或不等式是解决问题的关键．
（1）A班球队上半场投中了个3分球，则罚球投中了个1分球，由题意列出方程求解即可得到答案．
（2）A班球队下半场比赛中投中个3分球，则投中个2分球，由题意列出不等式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设A班球队上半场投中了个3分球，则罚球投中了个1分球，根据题意得：
，
解得：，
故罚球投中了：
答：A班球队上半场比赛罚球得分是4分．
【小问2详解】
解：设A班球队下半场比赛投中个3分球，则投中个2分球，根据题意得：
，
解得：，
答：A班球队下半场比赛中至少投中5个3分球．
21. 如图，是的内接三角形，E在的延长线上．给出以下三个条件：①是的直径，②是的切线，③．

（1）请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）选择作为条件，③作为结论；选择作为条件，②作为结论；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）选择作为条件，③作为结论：如图所示，连接，根据切线的性质和圆周角定理得到，则可得，再由等边对等角得到，由此可得；
选择作为条件，②作为结论：如图所示，连接，由圆周角定理得到，由等边对等角得到，由此即可得到，进一步得到，则是的切线；
（2）证明，再由进行求解即可．
小问1详解】
解：选择作为条件，③作为结论：
如图所示，连接，
∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
选择作为条件，②作为结论：
如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵；
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知切线的性质与判定条件是解题的关键．
22. 学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点．
【答案】活动一：见解析；活动二：见解析
【解析】
【分析】活动一：作，，如图，四边形是所求作的平行四边形；
活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点F是线段的黄金分割点．
【详解】解：活动一：如图所示，四边形是所求作的平行四边形．
活动二：证明：∵在中，，
∴是菱形，
∴，，，
∴，，
，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴点F是线段的黄金分割点．
【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，利用相似三角形得线段比例关系是解题的关键．
23. 综合与实践
【任务一】确定弦的长度．
如图2，请你求出 所对弦的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．
【任务三】确定卡纸大小．
如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．
【答案】任务一：任务二：见解析
任务三：最小规格矩形边长为、或．
【解析】
【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解，
任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取点，再以为圆心，分别以、为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同；
任务三：分两种情况：①在上取一点使，以为圆心，为半径的圆与相切，此时点与点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点作，则矩形为最小规格矩形；②当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接；利用等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理即可求解．
详解】任务一：解：过点O作，交于点，

，，
，
，
，，
，
任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．

任务三：分两种情况：
①如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形，
∵，，，
∴，，，
∵当与矩形两边相切，
∴最小规格矩形的边长为、；
②如图，当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接；
由题意知，，，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴；
同理：，
∴，
此时最小规格边长分别为；
综上，最小规格矩形边长为、或．
【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
24. 已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，．
（1）用含k的代数式表示b；
（2）求证：；
（3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）是，2．
【解析】
【分析】（1）令，得到，由直线与抛物线有且只有一个交点，根据根的判别式等于0，即可得到答案；
（2）联立，求得点A坐标，再用喊k的代数式表示出，的长，即得答案；
（3）设直线的表达式为，将点A坐标是代入，得到，联立 ，求出点D坐标，再分别用含k的代数式表示和，即可得到答案．
【小问1详解】
令，
整理得 ，
直线与抛物线有且只有一个交点，
，
；
【小问2详解】
由题意可知，联立，
解得，
点A坐标是，
又点B坐标是，点C坐标是，
，
由勾股定理，得，
；
【小问3详解】
点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下：
设直线表达式为，
将点A坐标是代入，
得 ，即，
联立 ，
解得（舍去），，
点D坐标是，
又点A坐标是，点B坐标是，点C坐标是，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键．
25. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，交于点．
（1）用等式表示与的数量关系，并说明原因；
（2）如图2，若为中点，且，求证：，，三点共线．
（3）如图3，若在线段上截取，连接，交于点，求证：．
【答案】（1），原因见解析
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等，以及角的和差关系即可得出结论；
（2）过点作，交的延长线与点，证明，推出，证明，推出，即可得出结论；
（3）过点作交的延长线于点，证明，得到，，进而证明，得到，推出，即可得证．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵在中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
过点作，交的延长线与点，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴两点重合，
∴，，三点共线；
【小问3详解】
过点作交的延长线于点，
则：，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴．
次数x
（单位：次）
频数
5
12
28
5
活动主题
扇面制作
活动情景
如图1，扇面字画是一种传统中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，．
活动小组
甲组
乙组
制作工具
直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料
次数x
（单位：次）
频数
5
12
28
5
活动主题
扇面制作
活动情景
如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，．
活动小组
甲组
乙组
制作工具
直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料