广东省深圳大学附属中学等校2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月） 数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳大学附属中学等校2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月） 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了本卷共4页.，考生必须保证答题卡的整洁.等内容，欢迎下载使用。
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．本卷共4页.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
5．考生必须保证答题卡的整洁.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B. 若，则
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
【答案】D
【解析】
【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.
【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；
对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；
对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；
对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.
故选：D
2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ）
A. B. 10C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的计算公式求得复数，然后求得
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A.
3. 在中，角的对边分别为，若，则
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理可求得，根据的范围可求得结果.
【详解】由正弦定理可得：
且 或
本题正确结果：
【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
4. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.
【详解】依题意，，而，
所以
故选：D
5. 若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】将代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可.
【详解】因为是关于方程的一个根，
所以，整理得，
所以，解得，
故选：D
6. 向量，为第三象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量共线的坐标表示得，结合平方关系及角所在象限得，最后应用诱导公式化简求值.
【详解】由题设，且，为第三象限角，可得，
所以.
故选：B
7. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积的运算律求解即得.
【详解】由向量与的夹角为，得，
由在方向上的投影向量为，得，则，
整理得，所以.
故选：A
8. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两角差正弦及平方关系求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围．
【详解】解：中，，
即，得，
又，，
所以，
化简得，
解得，或（不合题意，舍去），则，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，
所以，
设，其中，
所以，
由对勾函数在上单调递减，
可得：在单调递减；
，，
所以．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A. 若，则B. 若．则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B.
【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；
对于B，设，由，得，
则，因此，，B正确；
对于C，取，满足，而，，C错误；
对于D，由，得都是实数，因此，D正确.
故选：BD
10. 已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 已知．若与的夹角为钝角，的取值花围是
D. 与夹角的余弦值为
【答案】BD
【解析】
【分析】求出即可判断A选项；求出即可判断B选项；根据与的夹角为钝角即可判断C选项，利用公式即可判断D选项.
【详解】因为，
所以和不垂直，故A错误；
，
所以，故B正确；
因为与的夹角为钝角，
所以，
因为与不共线，所以不存在使得，
所以，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
11. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若面积为，则周长的最小值为12
C. 当，时，D. 若，，则面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.
【详解】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________（用区间表示）.
【答案】
【解析】
【分析】根据复平面上的点与复数实部、虚部关系列出不等式即可求解.
【详解】因为复数表示的点在复平面的第二象限内，
所以，解得，所以实数的取值范围是，
故答案为：
13. 如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为______km.
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知数据应用余弦定理计算求解即可.
【详解】由题意可知，，，
在中，由余弦定理可得，
，解得（舍）或.
故答案为：.
14. 已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分析的位置关系，明确点轨迹，化简，利用三角函数求其取值范围.
【详解】因为，所以三点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，所以，所以为圆的直径.
所以.
又，则点在以为圆心，2为半径的圆上.所以.
因为
设，则
.
因为，所以.
所以
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，且．
（1）若向量与互相垂直，求的值．
（2）若向量与互相平行，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．
（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小问1详解】
，，
，，即，得，
若向量与互相垂直，则，
即得，
，解得或.
【小问2详解】
由，所以，所以不共线，
由向量与互相平行，
可知存在实数，使得，
，解得，
当时，；当时，.
或.
16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．
（1）求；
（2）求的长．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)连接BD，在中，利用三角形内角和定理及和角的余弦公式计算即得；
(2)在中，利用正弦定理求出BD长，再在中利用余弦定理求解即可.
【详解】(1)由AB∥CD可得，则，
即，而，即有，
在中，，
所以；
(2)由(1)知，，
在中，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
即，解得或(舍去)，
所以的长为.
17 设向量，，．
（1）求的单调递减区间；
（2）在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间；
（2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积.
【小问1详解】
由题意得
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为为锐角三角形，由得，
由可得，
所以，故，
在中，由正弦定理得，所以，
所以①，
由余弦定理得，得②，
由①②解得，
所以的面积为.
18. 如图，在中，.若线段上一点，是线段上一点，其中.

（1）若，线段与交于点，求的值，
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点坐标，再根据向量数量积坐标表示求得结果；（2）先用表示出坐标，再用坐标表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值.
小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，
因为，所以
即，
因为，所以
从而，
联立方程组解得
因此
【小问2详解】
因为是线段上一点，，所以，
又因为，所以，因此，
又,即,
由第一问知，
所以
令
因此
当且仅当时取等号，
因此的最小值为.
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
（1）已知，求；
（2）①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求．
【答案】（1）1 （2）①证明见详解；②
【解析】
【分析】（1）根据题意直接代入公式运算即可；
（2）①根据向量的坐标运算可得，进而可知，结合题意即可分析证明；②根据角平分线的性质结合数量积可得，且可知点为的重心，进而求，即可得结果.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
①因为
，
且，，则，
所以.
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的重心，则，
可得，
则，
，
，
可得，
所以.
【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示.