湖北省第十届2025届高三下学期4月调研模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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命题单位：黄冈市教科院 审题单位：宜昌市教科院
2025.4
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据一元二次不等式化简集合 A，进而求交集.
【详解】由题意可得：集合 ，
且 ，所以 .
故选：C.
2. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】设 ，则 ，代入已知条件，利用复数相等的条件即可求解.
详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：A.
3. 已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，可得 ，结合周期分析可求得 最小值.
【详解】由 ，可得 ，
解得 ，
又函数 的最小正周期为 ，
故 取的最小值时， 在同一个周期内，
当 ， ，此时 ，
当 ， 时， ，
所以 的最小值为 .
故选：C.
4. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱 ，底面 边 上的高为 .当底面 水平放置时
水面高度为 16（如图①）.当侧面 水平放置时（如图②），水面高度为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用水的体积不变计算可求解.
【详解】设底面 的面积为 ，
当底面 水平放置时水面高度为 16，所以水的体积为 ，
设侧面 水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为 ，
则水的体积为 ，所以 ，所以 ，
设四棱柱体的底面梯形的高为 ，则可得 ，解得 .
故选：D.
5. 已知向量 ， 满足 ，且 在 上的投影向量为单位向量，则 （ ）
A. 1 B. C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，进而可得 ，设设 ， ，计算
可求 .
【详解】因为 在 上的投影向量为单位向量，所以 ，
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所以 ，所以 ，
设 ， ，可得 ，
两边平方得 ，所以 ，
令 ，则 ，解得 或 ，
当 时，这时 ，此时 ，此时 ，不符合题意，
当 时，即 ，
此时 .
故选：D.
6. 已知 为坐标原点， 为双曲线 ： 的右焦点， ， 为 的左右顶点，M
为 C 上一点， 轴，过 的直线分别交 y 轴和线段 于 H，N 两点，直线 交 y 轴于 G 点，且
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，可得 ，利用相似三角形建立关系求得 ，进而得到 ，得
解.
【详解】如图，设 ，由 ，得 ，
由 ，可得 ，即 ，则 ，
又 ，得 ，即 ，
，即 ，解得 ，
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，即 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：B.
7. 已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，结合函数的单调性可得 ，进而可求 的最小值.
【详解】函数 的定义域为 ，
可得函数 在 上单调递增，
又 ，
由 ，得 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B.
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8. 如图，半径为 1 的 与半径为 2 的 内切于点 A， 沿 的圆弧无滑动的滚动一周.若 上
一定点 P 从 A 点出发随着 的滚动而运动，设点 P 的轨迹为 C，则（ ）
A. C 是半径为 的圆 B. C 是半径为 1 的圆
C. C 是长度为 2 的线段 D. C 是长度为 4 的线段
【答案】D
【解析】
【分析】作圆 运动后的某圆 ，设此时与圆 相切于 点，点 从 运动到 ，通过题设运动中的等
量关系结合弧长公式得到 即可得到 的轨迹求解.
【详解】圆 运动到 ，设此时与圆 相切于 点，点 从 运动到 ，
易知 ，所以 ，
所以 ，
所以 的轨迹为圆 中过 ， 的直径，长度为 4．
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下 10 个数的中位数小于原样本的
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中位数
B. 若事件 A，B 相互独立，且 ， ，则事件 A，B 不互斥
C. 若随机变量 ， ，则
D. 若随机变量 的方差 ，期望 ，则随机变量 的期望
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 选项，利用中位数的定义判断出 A 错误；B 选项，计算出 ，故
， B 正 确 ； C 选 项 ， 利 用 正 态 分 布 的 对 称 性 进 行 判 断 ； D 选 项 ， 利 用
得到 ，D 正确.
【详解】A 选项， 从小到大排序，去掉其中的最大数和最小数后，
剩下 10 个数大小顺序不变，故剩下 10 个数的中位数和原来的中位数一样，A 错误；
B 选项，事件 A，B 相互独立，且 ， ，
，
所以 ，故事件 A，B 不互斥，B 正确；
C 选项，随机变量 ， ，设 ， ，
则 ，
，
根据 原则，可知 ，C 正确；
D 选项，随机变量 的方差 ，期望 ，
其中 ，故 ， ，
故随机变量 的期望 ，D 正确.
故选：BCD
10. 已知 a，b，c 分别为 的内角 A，B，C 所对的边， ，则下列说法正确
的是（ ）
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A. B. C. D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知结合二倍角的余弦公式可得 ，利用三角恒等变换可得 ，
可判断 A；利用三角内角和可得 ，结合两角和正切公式计算可判断 B；分类讨论可得
，进而 ，进而计算可判断 CD.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 A 正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故 B 正确；
因为 ，所以 同号，
若 ，又 ，此时 ，显然不符合题意，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故 C 错误；
由 ，可得 ， ，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线上， ，设直线
为抛物线 在点 处的切线，过点 作 的垂线交抛物线于另一点 ，
若 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. B. 直线 的斜率为
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对于 B 和 C，利用导数的几何意，求得抛物
线在点 处的切线方程为 ，求得垂线方程，联立抛物线方程得到
，再利用过两点直线的斜率，即可求解；对于 D，利用 ，得到
，利用累加法得到 ，即可求解.
【详解】对于选项 A，因为 ，解得 ，所以选项 A 错误，
因为 ，即 ，则 ，
所以抛物线在点 处的切线方程为 ，
垂线方程 ，
由 ，消 得到 ，
则 ，得到 ，又 ，
所以选项 B 和 C 正确，
对于选项 D，因为 ，
得到 ，所以当 时，
，
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又 ，所以 ，则 ，故选项 D 正确，
故选：BCD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦差公式将已知条件 展开，结合 ，求得 ，再利用
正弦二倍角公式，将 展开，代入即可求解.
【详解】因为 ，而 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
13. 已知函数 恰有 2 个极值点，则实数 a 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得 有两个不同正根 ，利用分离参数法得到 .令 ，，只需
与 有两个交点，利用导数研究 的单调性与极值，利用数形结合即可求解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
由 ，可得 ，
要使函数 有两个极值点，只需 有两个不同正根 ，并且 在的两侧的单调性相反，
由 得， ，所以 ，
由题意可知 与 有两个不同的交点，
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令 ，则 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以 ，当 时， ，
作出图形如图所示：
由图象可得实数 a 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 甲乙丙三个班级共同分配 9 个三好学生名额，每班至少 1 个名额，用 X 表示这三个班级中分配的最少名
额数，则 X 的数学期望 _______.
【答案】
【解析】
【分析】由隔板法求得总的情况数，利用分组分配的思想求得不同取值下情况数，结合古典概型写出分布
列，根据均值的计算，可得答案，
【详解】由题意可得 可能取值为 ，且总的情况数为 ，
当 时，分组情况有 ， ， ， ，情况数分别为 ；
当 时，分组情况有 ， ，情况数分别为 ；
当 时，分组情况有 ，情况数为 .
则 ， ， ，
可得 的分布列如下：
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所以 .
故答案为： .
四、解答题：共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 是无穷正整数数列，定义操作 为删除数列 中除以 余数为 的项，剩下的项按原
先后顺序不变得到新数列 .若 ， ，进行操作 后剩余项组成新数列 ，设数列
的前 项和为 .
（1）求 ；
（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知 ，进而可得 ，结合等差数列求和公式运算求
解；
（2）整理可得 ，利用裂项相消法运算求解.
【小问 1 详解】
因为 ，可知 （满足除以 3 余数为 1），当 时， 为 3 的倍数，
进行操作 ，即删除 ，剩余 ，
则 ，可得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
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则 ，
所以数列 的前 项和 .
16. 设函数 ， .
（1）当 ， 时，讨论 的单调性；
（2）若 ，且 和 （ 为 的导函数）的零点均在集合 中，求 的极
小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导可得 ，分 ， 两种情况讨论可求得 的单调性；
（2）求导，令 ，可得 或 ，由 ，计算求解可得 的值，
进而可求极小值.
【小问 1 详解】
当 时， ，
．
当 时， ， 在 上单增，
当 时，令 ， 或 ，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
综上所述：当 时， 在 上单增；
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当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
【小问 2 详解】
，令 ，所以 或
令 ， 或 ，又 ，且 ， ， 互不相等，
所以 ，所以
所以 或 或 ．
经检验 ， 符合，所以 ，
，令 ， 或 ，
当 ， ， ， ， ，
所以 时， 取得极小值 ．
17. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，F，T 分别是椭圆 ： 的左焦点，右顶点，过
F 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，当 轴时， 的面积为 .
（1）求 ；
（2）若斜率为 的直线 交椭圆 C 于 G，H 两点，N 为以线段 为直径的圆上一点，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在椭圆方程中，令 ，解得 ，得 ，再根据 结合
，求出答案；
（2）设直线 ： 与椭圆方程联立，由韦达定理求得 的中点为 ，利用弦长公
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式求得 ，进而得到以 为直径的圆的半径 ，由
，三角换元利用三角函数性质求出最大值.
【小问 1 详解】
依题意有 ，当 轴时，在椭圆方程中，令 ，解得 ，则 ，
，又 ．解得 ， ．
【小问 2 详解】
设直线 ： ，设 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 .
，所以 的中点为 ，
所以 .
又 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
所以 .
令 ， ，
记 ，
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又 ，所以 ， 时， .
18. 如图，在四棱锥 中， 为矩形，且 ， ，
.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 （N 在 S 的左侧），设三棱锥 体积为 ，四棱锥 体积为 ，且
.
①求点 到平面 的距离；
②求平面 与平面 所成夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） ；
【解析】
分析】（1）由余弦定理得到 ，进而得到 即可求证；
（2）建系，通过点到面的距离公式及面面角的夹角公式即可求解.
【小问 1 详解】
在 中， ， ， ，
所以 ，解得： ，
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所以 ，所以 ，
又 ， 为平面 内两条相交直线，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
（2）由（1）知， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 在平面 内，所以平面 平面 ，
在平面 内，所以 ，
在三角形 中， ， ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
又 ，
又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
取 的中点 ， ，可知： ，
因为平面 平面 ，交线为 ，
又在平面 内，
所以 平面 ，如图建立空间直角坐标系
易得： ,
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
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则 ，
所以 ，
令 ，得 ，即 ，
又 ，
所以求点 到平面 的距离 ，
② ，
设平面 的法向量 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，可得： ，
设平面 与平面 所成夹角为 ，
所以 ，
所以 ，
即平面 与平面 所成夹角的正弦值为 .
19. 一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有 6 块规格相同的电池，其中 3 块为一次性电池，另
外 3 块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回
收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉.
（1）在已知第 2 次取出一次性电池的条件下，求第 1 次取出的是可充电电池的概率；
（2）设 X，Y 是离散型随机变量，X 在给定事件 条件下的期望定义为
，其中 为 X 的所有可能取
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值的集合， 表示事件“ ”与“ ”均发生的概率.设 X 表示玩具汽车前 4 次使用中取
出一次性电池的块数，Y 表示前 2 次使用中取出可充电电池的块数，求 ；
（3）若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用 次后，所有一次性电池恰好全部用
完的概率为 ，求数列 的通项公式.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设事件 表示第一次取出时为可充电池，事件 表示第一次取出时为一次性电池，事件 B 表
示第二次取出时为一次性电池，求出 和 即可求解；
（2）求出 的可能取值，求出 、 和 即可求解；
（3）分别求出可充电池和一次性电池可使用的数量，求出 和 ，求出 时 即可求解.
【小问 1 详解】
设事件 表示第一次取出时为可充电池，事件 表示第一次取出时为一次性电池，事件 B 表示第二次取出
时为一次性电池，
则 ， ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由题意， 可能取值为 1，2，3，
， ， ，
所以 ；
【小问 3 详解】
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由题意，现有 3 块可充电池和 2 块一次性电池可使用，
经分析可得 ， ，
时，
.
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