2022重庆市南开中学高三下学期第七次质量检测（3月月考）数学试题含答案

重庆市高2022届高三第七次质量检测

数学试题

命审单位：重庆南开中学

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，，则（）

A B.  C.  D.

2. 若复数在复平面对应点在第四象限，则，满足（）

A.  B.  C.  D.

3. 等差数列的前项和为，且，，则（）

A. 10 B. 2 C.  D.

4. 已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数的取值范围为（）

A B.  C.  D.

5. 在的展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中常数项为（）

A.  B.  C.  D.

6. “传得淮南术最佳，皮肤退尽见精华．旋转磨上流琼液，煮月铛中滚雪花．”推豆花是传统的劳动技能，早在汉朝劳动人民发明了豆腐，通过连杆带动石磨转动，碾碎黄豆，磨出豆浆，再利用胆水，点出豆花，压成豆腐（如图1）．推豆磨的过程（图2），推磨人（身体在点）发力推动连杆，带动石磨逆时针转动，随着连杆移动，人随着连杆移动适当倾斜．当连杆在处与磨盘圆面相切时，人侧倾到，此时能使得推磨效率最大．若，，，，则下列等式成立的是（）

A.  B.

C D.

7. 若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱外接球和内切球的半径分别为、，则（）

A.  B.  C.  D.

8. 若关于不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．

9. 函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 为奇函数 B. 为增函数

C. ， D. ，

10. 2022年春节期间，冬奥会在北京举行，为全国人民带来一场体育盛宴．为了解市民对冬奥会体育节目收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众收看冬奥会系列节目时长的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A.

B. 男性观众收看节目时长的众数为8小时

C. 女性观众收看节目的平均时长小于男性观众的平均时长

D. 收看节目达到9小时观众中的女性人数是男性人数的

11. 如图所示，棱长为2的正方体中，是棱的中点，记过，，的平面为，是上底面上的动点，且，则下列说法正确的是（）

A. 截正方体所得截面为等腰梯形

B. 将正方体分成两部分的体积比为7：17

C. 点在线段上

D. 的最小值为

12. 已知为抛物线的焦点，过直线上一动点作的两条切线，切点分别为、，则下列恒为定值的是（）

A.  B.  C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设随机变量，若，则的取值范围为________．

14. 在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________．

15. 双曲线的焦距为，圆与及的渐近线分别在第一象限交于点、．若、关于直线对称，则的离心率为________．

16. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1．设，则________；是平面图形边上的动点，则的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列满足，．

（1）记，写出，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前30项和．

19. 已知函数的部分图象如图所示，图象过点和点，且相邻对称轴之间距离为．

（1）求的解析式，并求出的对称中心；

（2）若，且在区间上单调递增，求的最大值．

21. 新高考数学试题第题为多选题，多选题的评分标准：在每小题给出的、、、四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得分，部分选对得分，有选错或不选得分．在某次考试中，命题人对第题和第题分别设置了个和个正确选项．甲同学在考前没有做好复习，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的．

（1）若甲同学第题选了个选项，第题选了个选项，求甲同学在第和题合计得分为分的概率；

（2）考试中，甲同学准备采用以下方案完成第题和第题：

方案一：第和每道题都随机选一个选项；

方案二：第和每道题都随机选两个选项；

从得分角度考虑，请你帮甲同学选择一种更优方案．

23. 如图，在四棱锥中，平面，是正三角形，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．

25. 已知椭圆的焦点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若、为上不同的两点，动点、满足：，，且在上．

（i）求证：点在上；

（ii）若过焦点，求实数的取值范围．

27. 已知函数，其中．

（1）当，求的极值；

（2）若曲线与直线在上有且只有一个交点，求的取值范围．

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】C

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】A

【9题答案】

【答案】ABC

【10题答案】

【答案】ABC

【11题答案】

【答案】ABD

【12题答案】

【答案】BCD

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】##

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】    ①. 1    ②.

【17题答案】

【答案】（1），，

（2）

【小问1详解】

解：因为，且，所以，，，

所以，

，

为以2为首项，2为公等比的等比数列，所以；

【小问2详解】

解：，

，

∴数列的前30项和为．

【19题答案】

【答案】（1），对称中心为

（2）

【小问1详解】

对称轴间距为，则

又过，

过点，

∴，即，,

∵，

，

，

令，解得

对称中心为

【小问2详解】

故单调递增区间：，

解得：，

即单调递增区间为，

在上单调递增．

最大值为．

【21题答案】

【答案】（1）

（2）选择方案一

【小问1详解】

解：由题意可知，甲同学在第和题合计得分为分，则甲同学第和题全答对，

故所求概率为.

【小问2详解】

解：若甲同学采用方案一，得分为随机变量，则的可能取值为、、，

，，，

所以，；

若甲同学采用方案二，得分为随机变量，则的可能取值为、、、，

则，，

，，

所以，，故甲同学应选择方案一.

【23题答案】

【小问1详解】

证明：分别取、的中点、，连接、、，

因为、分别为、的中点，则且，

因为且，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

因为平面，则平面，

平面，所以，，

因为是等边三角形，且为的中点，则，

，平面，则平面，

平面，因此，平面平面.

【小问2详解】

解：取的中点，连接，

为等边三角形，的中点为，则，

因为平面，平面，则，

，平面，

以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，则，

设平面的法向量为，，，

则，取，则，

，则，

因此，平面与平面所成二面角的正弦值为.

【25题答案】

【答案】（1）

（2）（i）证明见解析；（ii）.

【小问1详解】

解：由已知可得，可得，则，

故椭圆的方程为.

【小问2详解】

解：（i）设点、，则，，

因为，则点，

同理可得点，

因为点在椭圆上，则，

整理可得，

所以，，

故点也在椭圆上.

（ii）若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，

联立，可得，

，

由韦达定理可得，，

，

由可得，

整理可得，

解得或；

若直线与轴重合，可设、，则，

由题意可得，解得或.

综上所述，实数的取值范围是.

【27题答案】

【答案】（1）的极小值为，无极大值

（2）

【小问1详解】

由题意，，

则，

故在单调递减，在单调递增.

有极小值，无极大值.

【小问2详解】

设，

则，

①当时，，在上无零点，不合题意；

②当，则单调递增，

时，

由零点存在性定理得在中只有一个零点，即曲线与直线在上有且只有一个交点.

②时，在单调递减，单调递增

若，则只能

若，则在单调递减，时，

则要，则

故

综上：.