上海市黄浦区2023届高三上学期一模数学试题 附答案

这是一份上海市黄浦区2023届高三上学期一模数学试题 附答案，共10页。试卷主要包含了函数的定义域为______，已知集合，，则______等内容，欢迎下载使用。
1．函数的定义域为______
2．已知集合，，则______
3．的二项展开式中项的系数是______
4．已知向量，，若，则mn的值为______
5．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模等于______
6．某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分数为______
7．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______
8．已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为______
9．已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为M，则集合M中的最大元素为______
10．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为______
11．已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为______
12．已知曲线与曲线，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线、上沿顺时针方向运动，若点A从点开始运动，点B到达点时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为______
二．选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
14．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点．则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．平面平面ABN
C．直线GB与AM是异面直线D．直线GB与平面AMD无公共点
15．已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与的全体实数x所组成的集合等于．则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②．下列判断中正确的是（ ）
A．①和②都正确B．①和②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
三．解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前2n项和．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
如图所示，四棱锥中，底面ABCD为菱形，且平面ABCD，又棱，E为棱CD的中点，．
（1）求证：直线平面PAB；
（2）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且．
（1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x，并求出步道的总长y（单位：百米）关于x的函数关系式；
（2）求步道的最短总长度（精确到0．01百米）．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于．动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与x轴交于点N，求证：；
（3）求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知集合A和定义域为的函数，若对任意，，都有，则称是关于A的同变函数．
（1）当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由；
（2）若是关于的同变函数，且当时，，试求在上的表达式，并比较与的大小；
（3）若n为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于的同变函数，也是关于的同变函数．
高三数学参考答案和评分标准
一、填空题（本大题满分54分其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）
1．；2．；3．80；4．-2；5．；6．10.8；
7．；8．；9．；10．；11.10；12．
二、选择题（本大题共4小题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）
13．C14．D15．B16．A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分J解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，，，
又，可得，
所以．
（2）由（1）可得，
故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，
所以数列的前2n项和
．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．
解：（1）因为底面ABCD为菱形，且，所以、是等边三角形，
又点E是CD的中点，所以．又因为，所以．
由平面ABCD，平面ABCD，可得，
又PA与AB相交，所以平面PAB．
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，可知平面PAE，又因为平面PCD，
所以平面平面PAE．
连PE，过A作，垂足为F，可知平面PCD，
所以就是AE与平面PCD所成的角．
又，，所以．所以直线AE与平面PCD所成角的正切值为．
（法二）以A为坐标原点，AB，AE，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，，，
设是平面PCD的一个法向量，AE与平面PCD所成角为．
由，可得，故．
所以，
可得，
故直线AE与平面PCD所成角的正切值为．
（法三：用体积法求点A到平面PCD的距离，然后再求所求线面角的正弦值和正切值）
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
解：（1）设直线EF与AD，BC分别交于点M，N，
若设百米，则，
，
．
（若设，则，，
，
）．
（2）设，
，令，可得，
且当时，，严格减；
且当时，，严格增．
故当时，取得极小值（最小值）（百米）．
所以步道的最短总长度约为18.39百米．
（设），
，令，可得，
且当时，，严格减；
且当时，，严格增．
故当时，取得极小值（最小值）（百米），
所以步道的最短总长度约为18.39百米．
20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则由，且，
可得，，所以椭圆C的方程为．
（2）设，，则，，
可得，解得，
又，，所以，
（另法：根据N，M，P三点共线与纵坐标关系，用向量或中点坐标公式来证明）
（3）设，，直线，的方程分别为，，
由（2）知，又m，均大于0，可知，
由可得，
所以，即，同理可得，
直线AB的斜率为
（当且仅当时取等号）．
当时，，此时在椭圆C上，
所以，又，可得，所以直线AB的斜率的最小值为，
且当直线AB的斜率取最小值时的直线的方程为．
21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解：（1）当时，对任意的，，，
由，可得，又，所以，
故是关于的同变函数；
当时，存在，，使得，即，所以不是关于的同变函数．
（2）由是关于的同变函数，可知恒成立，
所以恒成立，故是以2为周期的周期函数．
当时，，由，
可知．
（提示：也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证）
对任意的，都存在，使得，故．
令，可得，
所以
（当且仅当，即时取等号）．
所以当时，；
当时，．
（3）因为是关于的同变函数，
所以对任意的，，都有，
故，用代换x，可得，
所以，即，
又，故，且．
所以，故是以为周期的周期函数．
对任意的，，由，
可得，（*）
所以是关于的同变函数．
对任意的，存在非负整数m，使，
所以，对任意的，
，即，
所以是关于的同变函数．
故既是关于的同变函数，也是关于的同变函数．