上海市黄浦区2022届高三上学期期终调研测试（一模）数学试卷 附答案

这是一份上海市黄浦区2022届高三上学期期终调研测试（一模）数学试卷 附答案，共8页。试卷主要包含了本试卷共21道试题等内容，欢迎下载使用。
2021年12月
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共21道试题．
一、填空题(大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．
1．设，已知集合，，若，则 ．
2．不等式的解集为 ．
3．若圆柱的高、底面半径均为，则其表面积为 ．
4．设且，若函数的反函数的图像过点，则 ．
5．若线性方程组的增广矩阵为、解为则 ．
6．圆的圆心到直线的距离为 ．
7．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．
8．若为三角形内一点，则 ．
9．设无穷等比数列的公比为，且，则该数列的各项和的最小值为 ．
10．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
11．设，若曲线与直线有公共点，则的取值范围是 ．
12．若数列满足，且（），则的最小值为 ．
二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数为（ ）．
(A) (B) (C) (D)
14．若、，则“、均为实数”是“是实数”的（ ）．
(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件
(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件
15．下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）．
(A) (B)
(C) (D)
16．设为正实数，若存在、（），使得，则的值可以是（ ）．
(A) (B) (C) (D)
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
在直三棱柱中，，．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知直线（）与函数、的图像分别交于、两点．
（1）当时，求的值；
（2）求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点．
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某地区2020年产生的生活垃圾为万吨，其中万吨垃圾以环保方式处理，剩余万吨垃圾以填埋方式处理．预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：
（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到万吨）
（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生的生活垃圾量的？
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
设常数且，椭圆：，点是上的动点．
（1）若点的坐标为，求的焦点坐标；
（2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值；
（3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线的距离是定值．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质．
（1）判断函数，是否具有M性质，并说明理由；
（2）已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；
（3）① 已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；
② 已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值．
（可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立．）黄浦区2021学年第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷参考答案 2021.12
说明：
1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、填空题
1．2．3．4．
5．6．7．8．
9．10．11．12．
二、选择题
13．A14．A15．B16．D
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．
17．解（1）因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角）．（3分）
由，，得．
因此异面直线与所成角的大小为．
（2）因为平面，所以为与平面所成角，即．
由，，得，于是．
因此三棱锥的体积．
18．解（1）点的坐标为，点的坐标为．
因此．
（2）．
函数的最小正周期为．
令，可得，（）．
函数在区间内的零点为、、、．
19．解（1）该地区2021年、2022年、2023年产生的生活垃圾分别为、、；通过环保方式处理的垃圾分别为、、．（4分）
（万吨）．
因此，2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计约万吨．
（2）设该地区从2020起每年产生的生活垃圾量（单位：万吨）构成数列，则是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为；
从2020起每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，则是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式为．
由题意，，即，得．
令，于是，当时，可得，即．
当时，；当时，．
因此，该地区在2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生的生活垃圾量的．
20．解（1）由题意，椭圆：．
由，
得的焦点坐标为，．
（2）当时，椭圆：．
设，于是，将代入上式，
得（）．
因此，当时，取到最小值，最小值为；当时，取到最大值，最大值为．
（3）当时，椭圆：．
① 当直线垂直于轴时，，，则到直线的距离为．
② 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，于是直线的方程为．
由得所以．同理可得．
设到直线的距离为，因为，
所以，即．
综上，到直线的距离是定值．
21．解（1）令，，，，于是，，显然．
因此函数，不具有M性质．
证明（2）设、，且．令，
显然，且，于是，即．
因为函数在区间上为增函数，所以．
（3）证明 ① 对任意的、、，令，显然．
若，则不等式中等号成立．
下面考虑、、不全相等，不妨设的值最小，的值最大，于是，且．
令，，，于是，且
，
故，从而．
又，且，
故，因此．
综上，，其中等号当且仅当时成立．
解 ② 当△为锐角三角形时，由①，得，
等号当时成立；
当△为直角三角形时，不妨设为直角，于是
；
当△为钝角三角形时，不妨设为钝角，此时，于是
，由，
得，于是，故．
综上，的最大值为．