湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析

这是一份湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析，共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后,请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
命题单位：云学研究院 审题单位：云学研究院
考试时间：2025 年 4 月 18 日 15:00-17:00 时长：120 分钟 试卷满分：150 分
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
1．记等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则
A． B． C． D． 2．下列有关排列数､组合数的计算，正确的是
A． B．
C． D．
3．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分 分，
得分 分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是 ，高二年级优秀
率约是 ，高三年级优秀率约是 .其中高一高二高三年级人数比为 ，那么
全校“优秀率”约是
A． B． C． D．
4．若 的展开式中 的系数为 ，则
A． B． C． D．
5．“灵秀湖北梦，大道武当山”， 年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决
定一起游览“祈福圣地”——武当山．到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩
宫这三个地方游览，如果在 5 月 1 日上午 8:00~9:00 之间，他们每人只能去一个地方，金顶
一定有人去，则不同游览方案的种数为
A． B． C． D．
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6．已知抛物线 的准线为 ，直线 ，动点 在 上运动，记
点 到直线 与 的距离分别为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
7．已知函数 的定义域为 ， ，其导函数 满足 ，
则不等式 的解集为
A． B． C． D．
8．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一
次“美好成长”．将数列 进行“美好成长”，第一次得到数列 ；第二次得到数列
； ，设第 次“美好成长”后得到的数列为 ，记
，则下列说法错误的是
A． B．
C． D．数列 的通项公式为
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错得得 0 分。
9．近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测 2025 年到 2029 年间，
有 93%的概率平均气温会超过 2020 年，达到历史上最高气温纪录．某校环保兴趣小组准备
开展一次关于全球变暖的研讨会，现有 10 名学生，其中 6 名男生 4 名女生，若从中选取 4
名学生参加研讨会，则下列说法正确的是
A．选取的 4 名学生都是男生的不同选法共有 15 种
B．选取的 4 名学生中恰有 2 名女生的不同选法共有 360 种
C．选取的 4 名学生中至少有 1 名女生的不同选法共有 195 种
D．选取的 4 名学生中至多有 2 名男生的不同选法共有 155 种
10．设正项等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,前 项的积为 ,并且满足 ，
， ,则下列结论正确的是
A． B．
C． 的最大值为 D． 没有最大值
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11．已知函数 ， 对于不相等的实数 设
， ，现有如下四个结论，其中正确的选项是
A．对于任意不相等的实数 都有
B．当 时，函数 恰有 3 个零点
C．对于任意的实数 ，存在不相等的实数 ,使得
D．对于任意不相等的正实数 ,都有
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知函数 ,则其在 处的切线方程是 ．
13．化简 ．
14．已知双曲线 的左右顶点分别为 ，点 是双曲线上第一象限内的动
点 ， 设 ， 当 时 ， ； 当
时，则 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
已知函数 ．
（1）当 时，数列 满足 ，记数列 前 项和为 ，则当 取
得最小值时，求 的值；
（2）当 时，数列 满足 ， ，若数列 是公差 的
等差数列，求 的值．
16．（本小题满分 15 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若函数 在 上的最小值为 ，求实数 的值．
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17．（本小题满分 15 分）
已 知 数 列 满 足 ， 数 列 满 足
．
（1）求数列 的前 项和 ；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
18．（本小题满分 17 分）
已知 ， 两点在椭圆 上，直线 交椭圆 于 两点
（ 均不与 点重合），过 作直线 的垂线，垂足为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ，当 时，
①求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
②求 的最小值．
19．（本小题满分 17 分）
已知函数 ．
（1）若 恒成立，求实数 的值；
（2）当 时，方程 有两个不同的根，分别为 ．
①求实数 的取值范围；
②求证： ．
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2025 年湖北云学名校联盟高二年级期中联考
数学试卷评分细则
1．【答案】A
【解析】由题知 ．
故选：A．
2．【答案】D
【解析】对于 A，∵ ，∴A 不正确；
对于 B， ， 故 B 不正确；
对于 C， ，故 C 不正确；
对于 D，显然正确．
故选：D．
3．【答案】C 【解析】根据全概率公式可得:
故选：C．
4．【答案】B
【解析】因为 展开式的通项公式为
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 的展开式中 的系数为 ，得 ．
故选：B． 5．【答案】B
【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在 8:00~9:00 去金顶、太子坡、南岩宫游玩，且每
人只能去一个地方，则每人有 3 种选择，则 5 人一共有 种情况， 若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫，
每人有 2 种选择方法，则 5 人一共有 种情况，
故金顶一定要有人去有 种情况．
故选：B．
6．【答案】D
【解析】解：设抛物线 的焦点为 ，
由抛物线的定义可知 ．
设 于点 ，则 ，
当 三点共线，且 在 中间时， 取得最小值．
高二期中联考数学答案 第 1 页 共 11 页
由抛物线 ，得 ，
所以 的最小值为 ．
故选：D ．
7．【答案】B
【解析】根据题意可令 ，
所以 在 上单调递增，则原不等式等价于 ，
由 ，解之得 ．
故选：B． 8．【答案】C
【解析】解：对 A 选项，根据题意可得： ， A 选项正确；
对 B 选项，设每次插入项的个数构成数列 ，则 ，
数列 是以首项为 1，公比为 2 的等比数列，
数列 的前 项和即为 ， ， B 选项正确；
对 C 选项，
， C 选项错误；
对 D 选项，由 B 选项分析可得 ,又
又
是以首项为 ，公比为 3 的等比数列，
D 选项正确．
故选：C．
9．【答案】AC
【解析】选取的 4 名学生都是男生的不同选法共有 种，故 A 正确；
恰有 2 名女生的不同选法共有 种，故 B 错误；
至少有 1 名女生的不同选法共有 种，故 C 正确；
选取的 4 名学生中至多有 2 名男生的不同选法共有 种，故 D 错误.
故选：AC．
10．【答案】ABD
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【解析】因为 ， , , 且
则 没有最大值，所以 A、D 正确，C 错误；
又由 所以 B 正确．
故选：ABD．
11．【答案】BCD
【解析】对于 A，因为 在 上是先减后增的函数，在对称轴左边的两点连线斜率为
负数，所以对于不相等的实数 不恒成立，故 A 错误；
对于 B，当 时， 令
当 时， 和 都单调递增，所以 在 上单调递增，
又 所以 在 上必有零点，
又当 时可证 恒成立，
综上所述，当 时，函数 恰好有 3 个零点，故 B 正确；
对于 C，由 ，得 ，即
令
则 ， 在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
即 必唯一有零点，
即存在 满足
使得当 时， ；当 时， ；
所以 先减后增，
即存在不相等的实数 使 即 ，故 C 正确．
对于 D,
又： ，
当且仅当 时等号成立，
所以对于任意不相等的正实数 都有 ，故 D 正确．
故选 BCD．
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．【答案】
补充：斜截式和一般式都可以得分
【解析】由 得, ，
所以在 处切线方程为:
故答案为： ．
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13．【答案】
补充：只要化简后的最终结果一致都可以得分
【解析】
故答案为： ．
14．【答案】 （2 分）， （3 分）．
【解析】（1）当 时，双曲线方程为： 由于点 在双曲线上，设点
， ．
．
（2）在 中，由正弦定理：
，
由（1）可得：
故答案为：（1） ，（2） ．
15． 【解析】（1）当 时， ，令 ．．．．．．．．．2 分
故： ，当 时， ；当 时， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
故：当 时，数列 前 项和取得最小值． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
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（补充：得出结论但未说明“当时，”扣 2 分）
（2）解法一：当 时， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为数列 是公差 为等差数列
所以： 不为常数，
故： 的值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
解法二：由解法一知： ， ，可得： ， ．．．．．．．．．．．8 分
因为数列 是公差 为等差数列
解得： 或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
检验：当 时， ，故： 满足条件；
当 时， ，
，此时： ，
故： 为常数数列，不满足条件．
综上： 的值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
16．【解析】（1）当 时， ， ．．．．．．．．1 分
令 ，
同理：
所以： 在 单调递增，在 单调递减，在 单 调 递 增 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
当 时， 取得极大值 ；
高二期中联考数学答案 第 5 页 共 11 页
当 时， 取得极小值 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（补充：没有讨论单调性扣 2 分，最后结果没有写出具体极值扣 2 分。）
（2）解法一：由题： ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
①当 时， ， 在 单调递增， ．
②当 时， ， 在 单调递减， ．
③当 时， 在 单调递增，在 单调递减．
此时： 不合题意．
④当 时， ， 在 单调递增， ．
综上： 的值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
（补充：分类讨论差一种情况或错误扣 2 分，没讨论导数零点取区间端点值的情况扣 2 分。）
解法二：由题： ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
①当 时， ， 在 单调递增，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
②当 时，由于 ，
在 上的最小值小于 ， 与 题 目 矛 盾 ， 故 不 成 立 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
综上： 的值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
解法三：由题： ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由题： 的最小值为 ，则必有： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
当 时， ， 在 单调递增，
．
故： 的值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
17．【解析】（1） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
，令： ①
②
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① ②得：
所以： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（2）由题：
化简可得： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
令： ，
．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
当 时，此时： ；
（补充：只待入 n=1，n=2，未讲 n≥2， 扣 1 到 2 分）
当 时，此时： ，
补充：
故：数列 满足： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
所以：
故： 的取值范围是 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
18． 【解析】（1）由题：
故：椭圆 的标准方程为： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）①解法一：由条件 ，可知直线 的斜率存在，
设直线 ， ，
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联立方程组：
（▲）
（未求出 扣 1 分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
由条件 ，
即：
由于直线 不过点 ，故：
化简可得：
．．．．．．．．．．．．．12 分
代入（▲）式， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
此时直线 恒过定点 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
②又因为 ，所以：点 在以 为直径的圆上，圆心为 ，半径为 ．
所以： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
此时 的坐标为 ， 的斜率 ，满足条件．
故： 的最小值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分
解法二：设 ， ，由条件 ，即 （ ★ ）．．．．．．．．．．．．．．5 分
（补充：第（2）问未讨论直线 l 的斜率是否存在或为 0 一律不扣分；全部缺失或未检验 总共只扣 2 分）
由点 在椭圆上，则有： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
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① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
同理： ② ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
① ②可得：
代入（★）式可得：
即： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
变形可得： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
所以：直线 恒过定点 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
下同解法一．
19．【解析】（1） ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
由于 不是定义域区间的端点，且 在定义域上连续
故： 不仅是函数 的 最 小 值 ， 同 时 也 是 极 小 值 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
检验：当 时，
，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增．
所以： 成立，
故： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 补充两种解法：
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（2）①当 时， ，
令： ；同理：
所以 在 上单调递减，在 单调递增
当 时， ；当 时， ；且 ；
所以：方程 有两个不同的根时， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
②由题可知： ，
即： 且
构造函数：
所以： 在 上单调递减，故： ．
所以： ，
又因为 所以： ，
又因为 ，所以：
因为： 在 单调递增，
所以： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
要证： ，
即证： ，
即：
高二期中联考数学答案 第 10 页 共 11 页
只须证明： ，
即证：
因为： ，故只须证明：
因为 成立．
所以：原不等式 成 立 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分
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